¿Por qué funciona el mecanismo de "retroceso de fase" en el algoritmo de estimación de fase cuántica?

Probablemente he leído el capítulo La transformación cuántica de Fourier y sus aplicaciones de Nielsen y Chuang (edición del décimo aniversario) un par de veces antes y esto dio por sentado esto, pero hoy, cuando lo volví a ver, no lo hace. ¡No me parece nada obvio!

Aquí está el diagrama del circuito para el algoritmo de estimación de fase:

El primer registro que tiene qubits es supuestamente el "registro de control". Si alguno de los qubit en el primer registro está en estado | 1 ⟩ la correspondiente puerta unitaria controlada se aplica al segundo registro . Si está en un estado | 0 ⟩ entonces no recibe aplicada al segundo registro . Si está en una superposición de los dos estados | 0 ⟩ y | 1 $t$$|1\rangle$$|0\rangle$$|0\rangle$$|1\rangle$La acción del unitario correspondiente en el segundo registro puede determinarse por "linealidad". Tenga en cuenta que todas las puertas están actuando solo en el segundo registro y ninguna en el primer registro. Se supone que el primer registro es solo un control .

Sin embargo, muestran que el estado final del primer registro como:

$$\frac{1}{2^{t/2}}\left(|0\rangle+\text{exp}(2\pi i 2^{t-1}\varphi)|1\rangle)(|0\rangle+\text{exp}(2\pi i 2^{t-2}\varphi)|1\rangle)...(|0\rangle+\text{exp}(2\pi i 2^{0}\varphi)|1\rangle\right)$$

Estoy sorprendido de por qué consideramos que hay un cambio en el estado del primer registro de qubits, después de la acción de las puertas de Hadamard. El estado final del primer registro debería haber sido

$$\left(\frac{|0\rangle+|1\rangle}{\sqrt 2}\right)^{\otimes t}$$

no es asi Digo esto porque se supone que el primer registro es solo un control. No entiendo cómo o por qué debería cambiar el estado del primer registro cuando se actúa como control.

Inicialmente pensé que considerar los factores exponenciales como parte de los primeros estados de qubit de registro era solo una conveniencia matemática, pero luego no tenía sentido. ¡El estado de un qubit o un sistema de qubits no debería depender de lo que sea matemáticamente conveniente para nosotros!

Entonces, ¿podría alguien explicar por qué cambia exactamente el estado del primer registro de qubits, incluso cuando simplemente actúa como un "control" para el segundo registro? ¿Es solo una conveniencia matemática o hay algo más profundo?

Imagina que tienes un vector propio de U . Si tiene un estado como | 1 ⟩ | u ⟩ y aplicar controlada U a ella, salid e i phi | 1 ⟩ | u ⟩ . La fase no está asociada a un registro específico, es solo un factor multiplicativo general.$|u\rangle$$U$$|1\rangle|u\rangle$$U$$e^{i\phi}|1\rangle|u\rangle$

Ahora vamos a utilizar una superposición en el primer registro: Puede volver a escribir esto como ( | 0 ⟩ + e i phi | 1 ⟩ ) | u

$$(|0\rangle+|1\rangle)|u\rangle\mapsto |0\rangle|u\rangle+e^{i\phi}|1\rangle|u\rangle$$ $$(|0\rangle+e^{i\phi}|1\rangle)|u\rangle$$ entonces aparece en el primer registro, a pesar de que fue creado en el segundo registro. (Por supuesto, esa interpretación no es del todo cierta porque fue creada por una puerta de dos qubits que actúa en ambos qubits).

Este paso está en el corazón de muchos algoritmos cuánticos.

¿Por qué no escribimos y simplemente afirman que no es separable?$|\Psi\rangle=|0\rangle|u\rangle+|1\rangle(e^{i\phi}|u\rangle)$

Uno no puede simplemente reclamarlo, sino que debe mostrarlo matemáticamente. Por ejemplo, podemos tomar la traza parcial sobre el segundo qubit, Para tomar la traza parcial, elegimos una base para sumar. Por simplicidad, escojamos { | u ⟩ , | u ⊥ ⟩ } donde ⟨ u | u ⊥ ⟩ =

$$\text{Tr}_B(|\Psi\rangle\langle\Psi|_{AB})=\text{Tr}_B(|0\rangle\langle 0|\otimes |u\rangle\langle u|+|1\rangle\langle 0|\otimes e^{i\phi}|u\rangle\langle u|+|0\rangle\langle 1|\otimes |u\rangle\langle u|e^{-i\phi}+|1\rangle\langle 1|\otimes e^{i\phi}|u\rangle\langle u|e^{-i\phi})$$ $\{|u\rangle,|u^\perp\rangle\}$$\langle u|u^\perp\rangle=0$y | 0 ⟩ ⟨ 0 | + e i φ | 1 ⟩ ⟨ 1 | + e - i φ | 0 ⟩ ⟨ 1 | + | 1 ⟩ . A continuación, se obtiene Tr B ( | Psi⟩⟨Psi | A B )$\langle u|(e^{i\phi}|u\rangle=e^{i\phi}$ Este es el rango 1 (y puede ver que la fase ha aparecido en el primer registro), por lo que el estado no está enredado. Es separable. $$\text{Tr}_B(|\Psi\rangle\langle\Psi|_{AB})=|0\rangle\langle 0|+e^{i\phi}|1\rangle\langle 1|+e^{-i\phi}|0\rangle\langle 1|+|1\rangle\langle 1|$$

Un primer comentario

Este mismo fenómeno de qubits de 'control' cambia de estado en algunas circunstancias también ocurre con puertas NO controladas; de hecho, esta es la base completa de la estimación del valor propio. Entonces, no solo es posible, es un hecho importante sobre el cálculo cuántico que es posible. Incluso tiene un nombre: una "patada de fase", en la cual los qubits de control (o más generalmente, un registro de control) incurre en fases relativas como resultado de actuar a través de alguna operación en algún registro de destino.$\def\ket#1{\lvert#1\rangle}$

La razón por la que esto sucede

¿Por qué debería ser este el caso? Básicamente se reduce al hecho de que la base estándar no es realmente tan importante como a veces la describimos.

Version corta. Solo los estados base estándar en los qubits de control no se ven afectados. Si el qubit de control se encuentra en un estado que no es un estado base estándar, en principio se puede cambiar.

Versión más larga -

Considere la esfera Bloch. Es, al final, una esfera, perfectamente simétrica, sin que un punto sea más especial que ningún otro, y ningún eje sea más especial que otro. En particular, la base estándar no es particularmente especial.

La operación CNOT es en principio una operación física. Para describirlo, a menudo lo expresamos en términos de cómo afecta la base estándar , utilizando las representaciones vectoriales

$$\ket{00} \to {\scriptstyle \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}}\,, \quad \ket{01} \to {\scriptstyle \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}}\,, \quad \ket{10} \to {\scriptstyle \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}}\,, \quad \ket{11} \to {\scriptstyle \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}}$$ $$\mathrm{CNOT} \to {\scriptstyle \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}}\,.$$

¿Alguna vez hiciste una clase de matemática universitaria temprana, o leíste un libro de texto, donde comenzó a enfatizar la diferencia entre una transformación lineal y matrices, donde se dijo, por ejemplo, que una matriz podría $\{0,1\}$

¿Qué pasaría si tuviéramos que elegir representar una base diferente, digamos, la base propia de X? $\{0,1\}$

$$\begin{aligned} \ket{++} \to{}& [\, 1 \;\; 0 \;\; 0 \;\; 0 \,]^\dagger\,, \\ \ket{+-} \to{}& [\, 0 \;\; 1 \;\; 0 \;\; 0 \,]^\dagger\,, \\ \ket{-+} \to{}& [\, 0 \;\; 0 \;\; 1 \;\; 0 \,]^\dagger\,, \\ \ket{--} \to{}& [\, 0 \;\; 0 \;\; 0 \;\; 1 \,]^\dagger \,. \end{aligned}$$ $$\ket{00} \to \tfrac{1}{2}\,{\scriptstyle \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}}\,, \quad \ket{01} \to \tfrac{1}{2}\,{\scriptstyle \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix}}\,, \quad \ket{10} \to \tfrac{1}{2}\,{\scriptstyle \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \\ -1 \end{bmatrix}}\,, \quad \ket{11} \to \tfrac{1}{2}\,{\scriptstyle \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}}\,.$$

$H \otimes H$$\ket{++} = [\, 1 \;\; 0 \;\; 0 \;\; 0 \,]^\dagger$$\ket{+-} = [\, 0 \;\; 1 \;\; 0 \;\; 0 \,]^\dagger$$X$$Z$ observables , por conjugación.

$$\begin{aligned} \mathrm{CNOT} \to \tfrac{1}{4}{}\,{\scriptstyle \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \end{bmatrix} \,\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}\, \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \end{bmatrix} }\, = \,{\scriptstyle \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}} \end{aligned}$$ $X$ $$\begin{aligned} \mathrm{CNOT}\,\ket{++} &= \ket{++} , \\ \mathrm{CNOT}\,\ket{+-} &= \ket{--}, \\ \mathrm{CNOT}\,\ket{-+} &= \ket{-+} , \\ \mathrm{CNOT}\,\ket{--} &= \ket{+-} . \end{aligned}$$

Ahora, podría haber demostrado este mismo hecho mucho más rápidamente sin toda esta charla sobre cambios en el marco de referencia. En los cursos introductorios de computación cuántica en informática, se podría describir un fenómeno similar sin mencionar las palabras 'marco de referencia'. Pero quería darte más que un simple cálculo. Quería llamar la atención sobre el hecho de que un CNOT no es, en principio, solo una matriz; que la base estándar no es una base especial; y que cuando elimina estas cosas, queda claro que la operación realizada por el CNOT claramente tiene el potencial de afectar el estado del qubit de control, incluso si el CNOT es lo único que está haciendo con sus qubits.

La idea misma de que hay un qubit de "control" está centrada en la base estándar e incorpora un prejuicio sobre los estados de los qubits que nos invita a pensar en la operación como unilateral. Pero como físico, debe sospechar profundamente de las operaciones unilaterales. Para cada acción hay una reacción igual y opuesta ; y aquí la aparente unilateralidad del CNOT en los estados base estándar se desmiente por el hecho de que, para los estados de base propia de X, es el "objetivo" el que determina unilateralmente un posible cambio de estado del "control".

Te preguntaste si había algo en juego que fuera solo una conveniencia matemática, que implicara una elección de notación. De hecho, existe: la forma en que escribimos nuestros estados con énfasis en la base estándar, lo que puede llevarlo a desarrollar una intuición no matemática de la operación solo en términos de la base estándar. Pero cambie la representación, y esa intuición no matemática desaparece.

Lo mismo que he esbozado para el efecto de CNOT en los estados de X-eigenbasis, también está ocurriendo en la estimación de fase, solo que con una transformación diferente a CNOT. La 'fase' almacenada en el qubit 'objetivo' se eleva al qubit 'control', porque el objetivo está en un estado propio de una operación que está siendo controlada coherentemente por el primer qubit. En el lado de la informática del cómputo cuántico, es uno de los fenómenos más celebrados en el campo. Nos obliga a confrontar el hecho de que la base estándar solo es especial, ya que es con la que preferimos describir nuestros datos, pero no en cómo se comporta la física.

Gran pregunta
Una vez pregunté esto también, pero no es solo una cuestión de conveniencia matemática.
La U controlada es una puerta "enredada".
Una vez que hay un enredo, no puede separar el estado en "primer registro" y "segundo registro".
Solo piense en estos registros por separado al principio, o cuando no haya enredos. Después de un enredo, su mejor opción es trabajar a través de las matemáticas (multiplicaciones matriciales) a fondo, y de hecho obtendrá el estado dado por Nielsen y Chuang.