¿Cómo probar / refutar la universalidad de un conjunto de puertas?

Un conjunto universal de puertas puede imitar el funcionamiento de cualquier otro tipo de puertas, dadas suficientes puertas. Por ejemplo, un conjunto universal de puertas cuánticas son el Hadamard (  $H$  ), el desplazamiento de fase $\pi/8$ (  $T$  ) y la puerta $\mathrm{CNOT}$¿Cómo se podría refutar o probar la universalidad de un conjunto de puertas como $\{H,T\}$ , $\{\mathrm{CNOT},T\}$ o $\{\mathrm{CNOT}, H\}$ ?

La universalidad puede ser algo muy sutil que es bastante difícil de probar. Por lo general, hay dos opciones para probarlo:

• muestre directamente, utilizando sus puertas elegidas, cómo construir cualquier unidad unitaria arbitraria de tamaño arbitrario (no hay restricción en el tamaño de la construcción, solo que se puede hacer) a la precisión arbitraria (en algún subespacio no trivial del Hilbert completo espacio).

• muestre cómo se puede utilizar el conjunto de puertas elegido para recrear (con precisión arbitraria) un conjunto universal existente.

Por el contrario, si desea refutarlo, muestra que el efecto de su conjunto de puertas siempre puede simularse mediante un modelo de computación menor (supuesto), generalmente computación clásica.

Hay algunas heurísticas que puede usar como guía:

• debe tener una puerta de múltiples qubits en su conjunto. Si todo lo que tiene son puertas de un solo qubit, puede simular cada qubit independientemente en una computadora clásica. Entonces, si creemos que las computadoras cuánticas son más poderosas que las clásicas, las puertas de un solo qubit no son universales para la computación cuántica. Esto descarta {H, T}.

• debes tener una puerta que cree superposiciones. Esto descarta {CNOT, T}. Nuevamente, este es un cálculo clásico con la adición de una fase global irrelevante.

Por supuesto, estas no son condiciones suficientes: el conjunto {H, S, CNOT} también se puede simular de manera eficiente (ver el teorema de Gottesman-Knill). Esto también debe ser cierto para {H, CNOT} ya que son un subconjunto y las operaciones que pueden crear no son más que las del conjunto original.

Uno de los conjuntos universales que encuentro más interesantes es {Toffoli, H} . Siempre me parece sorprendente que esto sea suficiente (especialmente cuando se compara con el conjunto anterior). Tenga en cuenta que no implica ningún número complejo.

$$\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{array}\right)$$

Nielsen y Chuang, pg 191 de la edición del décimo aniversario:

Acabamos de demostrar que una matriz unitaria arbitraria en un $d$espacio de Hilbert tridimensional puede escribirse como un producto de matrices unitarias de dos niveles. Ahora mostramos que las puertas de un solo qubit y CNOT juntas pueden usarse para implementar una operación unitaria arbitraria de dos niveles en el espacio de estado de$n$qubits Combinando estos resultados, vemos que las puertas de un solo qubit y CNOT pueden usarse para implementar una operación unitaria arbitraria en$n$ qubits y, por lo tanto, son universales para el cálculo cuántico.

La primera oración es un resultado aceptado, por lo que simplemente debe demostrar que la combinación de su conjunto de puertas puede implementar "una operación unitaria arbitraria de dos niveles". Para citar Wikipedia:

Técnicamente, esto es imposible ya que el número de puertas cuánticas posibles es incontable, mientras que el número de secuencias finitas de un conjunto finito es contable. Para resolver este problema, solo requerimos que cualquier operación cuántica se pueda aproximar mediante una secuencia de puertas de este conjunto finito.

Ver también este artículo .