¿Qué es un código Bacon-Shor y cuál es su importancia?

Estoy en la conferencia AQC en la NASA y todo el mundo parece estar hablando repentinamente sobre el código Bacon-Shor , pero no hay una página de Wikipedia y el pdf al que le di un enlace realmente no explica qué es y cómo funciona.

¿Cómo se compara con el código Shor ?

La diferencia clave es que el código Bacon-Shor es un código de subsistema , mientras que el código Shor es un código estabilizador . Tienen los mismos operadores estabilizadores , pero el procedimiento de corrección de errores es diferente. La referencia canónica para esta construcción es [Poulin] .

Los códigos del estabilizador se basan en la medición de los valores propios de los operadores de conmutación (los estabilizadores). Debido a que estos operadores conmutan, podemos etiquetar los subespacios del espacio de estado por estos valores propios. En particular, la articulación +1 eigenspace es el espacio de código . Si alguna de nuestras mediciones da como resultado un valor propio -1, sabemos que el estado se ha salido del espacio de código y puede (con suerte) hacer algo para rectificar esto.

Con los códigos de subsistema, también medimos valores propios de algunos operadores, pero esta vez no forman un conjunto de operadores de conmutación. Estos operadores se llaman operadores de calibre . Generan un grupo llamado grupo de indicadores . El truco de esta construcción es que el centro del grupo de medidores es el grupo estabilizador. Este es el grupo de operadores generado por los operadores de medidores que conmutan con cada elemento del grupo de medidores.

¿Cómo funciona esto en la práctica: suponga que tiene un operador estabilizador escrito como un producto de los operadores de calibre :$s$$\{g_i\}$

Ahora seguimos adelante y medimos cada uno de los . Cada medida proporciona un valor propio aleatorio pero el producto de estos etiqueta el espacio propio de que pertenece el estado. Una vez que tengamos todos los valores propios de los estabilizadores de esta manera, podemos (con suerte) hacer algo para rectificar el estado.$g_i$$\lambda_i = \pm 1$$\lambda = \prod \lambda_i$$s$

Un ejemplo: me resulta útil pensar en el "código Bacon-Shor de 4 qubits". Este es un error al detectar el código del subsistema. Los operadores del medidor son

Piense en estos como operando en una red de qubits. Estos operadores generan los estabilizadores yUna vez que medimos y , multiplicamos las dos medidas de valor propio para encontrar el valor propio de . Estos operadores de medidores son "más fáciles" de medir, porque solo involucran dos qubits, pero el costo es que arruinamos el estado de otras maneras. Estas "otras formas" son los qubits de calibre , y no nos importan. Los qubits codificados, o qubits lógicos, son los que estamos tratando de preservar. Los operadores que actúan sobre los qubits codificados son los operadores lógicos.$2\times 2$$XXXX$$ZZZZ.$$XXII$$IIXX$$XXXX$. Para este ejemplo estos son y . Como ejercicio, recomendaría trabajar con los vectores propios correspondientes (y espacios propios) para todos estos operadores.$ZZII$$XIXI$

Los códigos más grandes de Bacon-Shor funcionan de manera similar. Para una red de qubits, hay un grupo de operadores de calibre de 2 qubit, dispuestos como "dominó" en la red. Los operadores de medidores de tipo son fichas de dominó horizontales, y los operadores de medidores de tipo son fichas de dominó verticales. Una pila vertical de del dominó de tipo genera un estabilizador de tipo en qubits. Y así.X Z n X X n × $n\times n$$X$$Z$$n$$X$$X$$n\times 2$

La relevancia para la computación cuántica adiabática es que podemos formar un Hamiltoniano a partir de estos operadores, como la suma negativa de los operadores del medidor. El espacio básico del hamiltoniano corresponde a los qubits lógicos del código del medidor, y las excitaciones del estado corresponden a errores. Para el código Bacon-Shor, la brecha de este hamiltoniano llega a cero a medida que crece el tamaño del sistema. Por lo tanto, este hamiltoniano no funciona para proteger el estado codificado (energéticamente). Este hamiltoniano también se conoce como el modelo de brújula cuántica .

También escribí un artículo sobre códigos de subsistemas y hamiltonianos .

^{Descargo de responsabilidad : esta respuesta se basa en lo que deduje de una breve sesión de Google. Podría hacer más adiciones / mejoras a medida que entienda los detalles más a fondo. Siéntase libre de hacer sugerencias en los comentarios.}

El código Shor de qubits (qubits colocados en una red ) es el miembro más pequeño en la familia de los códigos Bacon-Shor de bits (qubits colocados en una red ). El código de Shor , como sabe, puede corregir los errores de cambio de signo de Pauli y de cambio de bit de Pauli en un solo qubit. Además, para corregir cualquier error de un solo qubit (con una alta probabilidad), es suficiente poder corregir cualquier error de Pauli de un solo qubit. ^[1]$9$ $[[9,1,3]]$$3\times 3$$m^2$ $[[m^2,1,m]]$$m\times m$

Ahora, código de tocino-Shor (s) es (/ n) una generalización de este concepto de modelos de ruido en el qubit s en un bloque de código están sujetos tanto a bit-flip errores con probabilidad y de desfase errores con probabilidad . Se supone que el ruido actúa independientemente en cada qubit y los errores y no están correlacionados.$p_X$$p_Z$$X$$Z$

En (Napp y Preskill, 2013) los autores encuentran que el código Bacon-Shor de tamaño óptimo para la misma tasa de errores y viene dado por y para esa elección óptima pueden enlazó la tasa de error lógica (o ) como ^[2] .$X$$Z$$p$$m=\frac{\log 2}{4p}$$X$$Z$$\tilde p(p) \lesssim \exp(\frac{-0.06}{p})$

También es posible trabajar con códigos asimétricos de Bacon-Shor con qubits en una matriz . Los códigos asimétricos pueden tener un mejor rendimiento cuando, por ejemplo, los errores son más probables que los errores ^[3] .Z $n \times m$$Z$$X$

Referencias

1. Corrección de errores cuánticos para memorias cuánticas (Barbara M. Terhal, 2015)
2. Códigos óptimos de Bacon-Shor (Napp & Preskill, 2012)
3. Cálculo cuántico tolerante a fallas con códigos asimétricos de Bacon-Shor (Brooks & Preskill, 2013)

Código Shor

Puede detectar y corregir errores arbitrarios de un solo qubit, pero si hay 2 o más errores de un solo qubit antes de una ronda de corrección, la corrección fallará. - Intuición para la probabilidad de falla del código Shor

Código Bacon-Shor

Códigos de Bacon-Shor, códigos de subsistema cuántico que son muy adecuados para aplicaciones de memoria cuántica tolerante a fallas porque el síndrome de error se puede extraer realizando mediciones de dos qubits. Códigos óptimos de Bacon-Shor

Contrariamente al código de Shor, estos estabilizadores no pueden identificar el qubit preciso en el que ocurre un cambio de bit, solo pueden identificar la columna en la que ocurre. - Corrección de error cuántico

Para el código Bacon-Shor, los qubits se presentan en una matriz cuadrada 2D n × n. También es posible trabajar con códigos asimétricos de Bacon-Shor con qubits en una matriz × m. - Corrección de errores cuánticos para memorias cuánticas pág. 34$[[n^2, 1, n]]$

Hemos demostrado que para cada código Shor generalizado hay un código de subsistema con los mismos parámetros pero que requiere significativamente menos medidas de estabilizador para realizar la corrección de error cuántico. - Error cuántico que corrige los códigos del subsistema de dos códigos lineales clásicos

Además, aquí hay un video de Microsoft Universal Fault-Tolerant Computing con códigos Bacon-Shor .