¿Cómo implementar una matriz exponencial en un circuito cuántico?

Tal vez sea una pregunta ingenua, pero no puedo entender cómo exponer realmente una matriz en un circuito cuántico. Suponiendo que tenga una matriz cuadrada genérica A , si quiero obtener su exponencial, , puedo usar la serie $e^{A}$

e^{A} ≃ I + A + \frac{A^{2}}{2!} + \frac{A^{3}}{3!} + . . .

$e^{A} \simeq I+ A+\frac{A^2}{2!}+\frac{A^3}{3!}+...$

Tener su aproximación. No entiendo cómo hacer lo mismo usando puertas cuánticas y luego lo aplico, por ejemplo, para realizar una simulación hamiltoniana. ¿Un poco de ayuda?

— FSic
fuente

No está claro si está hablando de un circuito cuántico que toma como entrada y salida o simulación hamiltoniana (es decir, construir un circuito cuya matriz unitaria coincida con ).

A

$A$

e^{A}

$e^A$

e^{i A}

$e^{iA}$

— Nelimee

Culpa mía; lo que quise decir es que, tomada una matriz A, quiero tener en mi circuito su exponencial, .

e^{i A}

$e^{iA}$

— FSic

Reformulando su pregunta:

¿Cómo realizar la simulación hamiltoniana para una matriz cuadrada genérica ? $A$

Respuesta rápida : no es posible.

El objetivo de la Simulación Hamiltoniana (HS) es encontrar un circuito cuántico (es decir, una sucesión de puertas) que actúe como en un estado cuántico. Aquí debe ser unitario (debido a las propiedades de las puertas cuánticas) y, por lo tanto, también debe ser unitario. $U(t) = e^{-iAt}$ $U(t)$ $e^{-iAt}$

Por lo tanto, el algoritmo HS solo es aplicable a las matrices modo que sea unitario. Todas las matrices hermitianas satisfacen esta propiedad, pero no todas . Dependiendo de su problema, esta limitación puede o no ser un problema, pero no puede usar HS si no es unitario. $A$ $e^{-iAt}$ generic square matrix $e^{-iAt}$

Por ejemplo, para el algoritmo HHL (que usa HS de como una subrutina) con un sistema , si no es unitario, puede considerar el problema resuélvelo con HHL (que ahora es posible porque la nueva matriz es hermitiana) y recupera . $A$ $Ax=b$ $e^{-iAt}$

C y = (\begin{matrix} 0 0 & UNA \\ {UNA}^{†} & 0 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} 0 0 \\ X \end{matrix}) = (\begin{matrix} si \\ 0 0 \end{matrix}),

$Cy = \begin{pmatrix} 0 & A \\ A^\dagger & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ x\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}b \\ 0\end{pmatrix},$

C

$C$

x

$x$

Entonces la pregunta interesante es ahora:

$A$

$A$

Este es un gran tema de investigación y hay muchas cosas que decir al respecto. No presentaré todos los métodos aquí, ya que son bastante complicados y no los entendí todos. Aquí hay una lista de documentos / presentaciones relacionados con HS y que pueden ser interesantes para comenzar con HS:

Simulación de la dinámica hamiltoniana en una pequeña computadora cuántica : diapositivas sobre HS. Incluso si se trata de una presentación, esta es la fuente más completa que encontré en Hamiltonian Simulation. Presenta rápidamente 3 métodos diferentes y cita documentos interesantes para cada método.
Notas de la conferencia sobre algoritmos cuánticos (Andrew M. Childs, 2017) : reciente y bastante completo. HS se trata en el capítulo 25 (página 123).
Mejora exponencial en la precisión para simular Hamiltonianos dispersos : presenta en detalle uno de los 3 métodos presentados en 1.
Algoritmos cuánticos eficientes para simular Hamiltonianos dispersos : presenta en detalle otro de los 3 métodos presentados en 1.

— Nelimee
fuente

¡Gracias, especialmente por las referencias, las echaré un vistazo!

— FSic

Te recomiendo comenzar con la primera referencia. Es el más completo y ofrece enlaces a otros artículos. Para mí (punto de vista personal), la primera técnica que utiliza la fórmula Trotter-Suzuki es la más comprensible. ¡Pero puede que no sea lo mismo para ti!

— Nelimee

Cada matriz hermitiana satisface esta propiedad : más específicamente, todas y solo las matrices hermitianas tienen esta propiedad

— glS