¿Son todos

El teorema 2 de [1] establece:

Supongamos que es un auto-ortogonal sub-código aditivo de GF ( 4 ) n , que contiene 2 n - k vectores, de tal manera que no hay vectores de peso < d en C ⊥ / C . Entonces, cualquier espacio propio de ϕ - 1 ( C ) es un código de corrección de error cuántico aditivo con parámetros [ [ n , k , d ] ] .$C$$\textrm{GF}(4)^n$$2^{n-k}$$<d$$C^\perp/C$$\phi^{-1}(C)$$[[n, k, d]]$

donde aquí es el mapa entre la representación binaria de n operadores de Pauli plegables y su palabra de código asociada, y C es auto-ortogonal si C ⊆ C ⊥ donde C $\phi: \mathbb{Z}_2^{2n} \rightarrow \textrm{GF}(4)^n$$n$$C$$C \subseteq C^\perp$$C^\perp$ es el dual de .$C$

Esto nos dice que cada código aditivo auto-ortogonal clásico representa un [ [ n , $\textrm{GF}(4)^n$código cuántico , d ] ] .$[[n, k, d]]$

Mi pregunta es si lo contrario también es cierto, es decir: es cada código cuántico representado por un GF auto-ortogonal aditivo $[[n, k, d]]$ clásico?$\textrm{GF}(4)^n$

O de manera equivalente: ¿Hay algún código cuántico que no esté representado por un GF auto-ortogonal aditivo $[[n, k, d]]$código 4 ) n clásico?$\textrm{GF}(4)^n$

[1]: Calderbank, A. Robert, y col. "Corrección de error cuántico a través de códigos sobre GF (4)". IEEE Transactions on Information Theory 44.4 (1998): 1369-1387.

La restricción aditiva auto-ortogonal en los códigos clásicos para crear códigos cuánticos estabilizadores es necesaria debido al hecho de que los generadores estabilizadores deben conmutar entre ellos para crear un espacio de código válido. Al crear códigos cuánticos a partir de códigos clásicos, la relación de conmutación para los estabilizadores es equivalente a tener un código clásico auto-ortogonal.

Sin embargo, los códigos cuánticos pueden construirse a partir de códigos clásicos no auto-ortogonales sobre $GF(4)^n$ por medio de asistencia de enredo. En estas construcciones, se selecciona un código clásico arbitrario, y al agregar algunos pares de Bell en el sistema qubit, se obtiene la conmutación entre los estabilizadores.

Este paradigma asistido por enredos para construir QECC a partir de cualquier código clásico se presenta en arXiv: 1610.04013 , que se basa en el documento "Corrección de errores cuánticos con enredo" publicado en Science por Brun, Devetak y Hsieh.

Su pregunta puede verse en parte como un problema de notación.

$[[n,k,d]]_D$$D^k$ para quDits.

$((n,K,d))_D$$K$$K$$D$

$((5,6,2))$$[[5,2,2]]$$2^2 = 4 < 6$