Implementación de una puerta CCCNOT usando solo puertas Toffoli

Una puerta CCCNOT es una puerta reversible de cuatro bits que voltea su cuarto bit si y solo si los primeros tres bits están todos en el estado $1$ .

¿Cómo implementaría una puerta CCCNOT usando puertas Toffoli? Suponga que los bits en el espacio de trabajo comienzan con un valor particular, 0 o 1, siempre que los devuelva a ese valor.

Supongo que lo que estás buscando es el siguiente circuito. Aquí, $b_1,b_2,b_3,b_4 \in \{0,1\}$ , y $\oplus$ es el módulo de suma $2$ .

$|0\rangle$$|0\rangle$

$|1\rangle$$4$$3$$|1\rangle$$|0\rangle$ después de que se aplica el circuito.

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En la sección de comentarios, surgió la pregunta de si es posible implementar dicho circuito usando solo compuertas Toffoli, sin usar qubits auxiliares. Esta pregunta se puede responder en forma negativa, como mostraré aquí.

$\mathrm{CCCNOT}$$X$

$$X = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$$ $N$$I_N$$\mathrm{CCCNOT}$$16 \times 16$ $$\mathrm{CCCNOT} = \begin{bmatrix} I_{14} & 0 \\ 0 & X \end{bmatrix}$$ $$\det(\mathrm{CCCNOT}) = -1$$ $4$ $$\mathrm{Toffoli} \otimes I_2 = \begin{bmatrix} I_6 & 0 \\ 0 & X \end{bmatrix} \otimes I_2 = \begin{bmatrix} I_{12} & 0 \\ 0 & X \otimes I_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} I_{12} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & I_2 \\ 0 & I_2 & 0 \end{bmatrix}$$ $$\det(\mathrm{Toffoli} \otimes I_2) = 1$$ Las puertas Toffoli también pueden actuar en diferentes qubits, por supuesto. Supongamos que dejamos que la puerta Toffoli actúe en el primer, segundo y cuarto qubit, donde el cuarto qubit es el qubit objetivo. Luego obtenemos la nueva representación matricial de la que se muestra arriba intercambiando las columnas correspondientes a los estados que difieren solo en el tercer y cuarto qubit, es decir, con , con , etc. Lo importante a tener en cuenta aquí es que el número de intercambios de columnas es par y, por lo tanto, el determinante permanece sin cambios. Como podemos escribir cada permutación de qubits como una secuencia de permutaciones consecutivas de solo qubits (es decir,$|0001\rangle$$|0010\rangle$$|0101\rangle$$|0110\rangle$$2$$S_4$es generado por las transposiciones en ), encontramos que para todas las puertas Toffoli, aplicadas a cualquier combinación de qubits de control y objetivo, su representación matricial tiene determinante .$S_4$$1$

Lo último a tener en cuenta es que el determinante conmuta con la multiplicación de matrices, es decir, , para cualesquiera dos matrices y compatibles con la multiplicación de matrices. Por lo tanto, ahora resulta evidente que la aplicación de múltiples compuertas Toffoli en secuencia nunca crea un circuito cuya representación matricial tenga un determinante diferente de , lo que en particular implica que la no se puede implementar utilizando solo compuertas Toffoli en qubits .$\det(AB) = \det(A)\det(B)$$A$$B$$1$$\mathrm{CCCNOT}$$4$

La pregunta obvia, ahora, es qué cambia cuando permitimos un qubit auxiliar. Encontramos la respuesta cuando escribimos la acción de la en un sistema de bits: Si calculamos este determinante, encontramos : Por lo tanto, el determinante del -gate que actúa en qubits es , en lugar de . Es por eso que el argumento anterior no es válido para$\mathrm{CCCNOT}$$5$

$$\mathrm{CCCNOT} \otimes I_2 = \begin{bmatrix} I_{14} & 0 \\ 0 & X \end{bmatrix} \otimes I_2 = \begin{bmatrix} I_{28} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & I_2 \\ 0 & I_2 & 0 \end{bmatrix}$$ $$\det(\mathrm{CCCNOT} \otimes I_2) = 1$$ $\mathrm{CCCNOT}$$5$$1$$-1$$5$ qubits, como ya sabíamos debido al circuito construido explícitamente que solicitó el OP.