¿Puede la computación cuántica adiabática ser más rápida que el algoritmo de Grover?

Se ha demostrado que la computación cuántica adiabática es equivalente a la computación cuántica "estándar" o modelo de puerta. Sin embargo, la computación adiabática muestra promesas de problemas de optimización, donde el objetivo es minimizar (o maximizar) una función que de alguna manera está relacionada con el problema, es decir, encontrar la instancia que minimiza (o maximiza) esta función resuelve de inmediato problema.

Ahora, me parece que el algoritmo de Grover puede hacer esencialmente lo mismo: al buscar en el espacio de la solución, encontrará una solución (posiblemente de muchas soluciones) que satisfaga el criterio de Oracle, que en este caso equivale a la condición de optimización, en el tiempo , dondeNes el tamaño del espacio de solución.$O(\sqrt N)$$N$

Este algoritmo ha demostrado ser óptimo: como Bennett et al. (1997) lo expresaron, "la clase no puede resolverse en una máquina cuántica de Turing en el tiempo o ( 2 n / 2 ) ". En mi opinión, esto significa que no hay forma de construir un algoritmo cuántico que encuentre una solución buscando a través del espacio más rápido que O ( $\rm NP$$o(2^{n/2})$, dondeNescala con el tamaño del problema.$O(\sqrt N)$$N$

Entonces mi pregunta es: si bien la computación cuántica adiabática a menudo se presenta como superior cuando se trata de problemas de optimización, ¿puede realmente ser más rápido que ? En caso afirmativo, esto parece contradecir la optimización del algoritmo de Grover, ya que cualquier algoritmo adiabático puede ser simulado por un circuito cuántico. Si no, ¿cuál es el punto de desarrollar algoritmos adiabáticos, si nunca van a ser más rápidos que algo que podamos construir sistemáticamente con circuitos? ¿O hay algo mal con mi comprensión?$O(\sqrt N)$

Buena pregunta. Para la búsqueda no estructurada, el cálculo cuántico adiabático proporciona exactamente el mismo aceleración que hace el algoritmo estándar de Grover basado en puerta, como lo demuestranRoland y Cerfenesteimportante artículo. Esto concuerda con la equivalencia entre el cálculo cuántico adiabático y el basado en puertas que usted mencionó.$\sqrt{N}$

(Una corrección menor a su pregunta: está en lo cierto en la configuración para el problema de búsqueda de oráculo, debe enmarcar su consulta de búsqueda como una pregunta de sí / no que el oráculo puede responder. Pero la pregunta no se toma en realidad para ser "¿ extremiza la función f ( x ) ?", como usted propuso. En cambio, es "¿es f ( x ) menor o igual que M ?" Vea las diapositivas 9 y 10 aquí . Eso es un oráculo para esto último pregunta se considera un modelo más realista para una configuración física, donde 's concebible de que uno pueda calcular o medir directamente f ( x ) para una x dada$x$$f(x)$$f(x)$$M$$f(x)$$x$, pero .)$f(x) - f_\text{min}$

Sin embargo, hay dos ventajas potenciales para el control de calidad adiabático, que son difíciles de estudiar teóricamente. El primero es práctico: en realidad construir grandes circuitos cuánticos coherentes es mucho más difícil que dibujarlos en un artículo de revista. Aunque el control de calidad adiabático no tiene ninguna ventaja fundamental sobre la configuración tradicional, podría ser mucho más fácil de implementar experimentalmente.

En segundo lugar, la misma gran advertencia se aplica a AQC que al algoritmo de Grover estándar: solo se aplica a la búsqueda no estructurada o de "recuadro negro", donde ignoramos por completo cualquier correlación entre las respuestas que da el oráculo cuando se alimenta en "similar" o " consultas relacionadas. Cualquier problema de búsqueda real que nos interese, por definición, tendrá cierta estructura, aunque esta estructura puede ser demasiado complicada para que la analicemos. Por ejemplo, si pensamos que la función debe ser extremizada como un paisaje energético, parece razonable que el sistema pueda hacer un túnel más fácilmente entre los mínimos locales "cercanos" que entre los "lejanos".

Entonces, para comparar de manera rigurosa los beneficios relativos de las configuraciones adiabáticas versus las basadas en compuertas en un experimento real, necesitaría "superar la barrera de relativización" y considerar la estructura de la función específica que está tratando de extremizar, lo que Por lo general, es realmente difícil de hacer. Esto hace que sea muy difícil sacar conclusiones generales sobre las ventajas relativas de los dos enfoques en el mundo real. También es por qué es tan difícil demostrar teóricamente las separaciones de complejidad incondicionales. Por lo que sabemos, para los problemas del mundo real en lugar de los de oráculo, las computadoras cuánticas podrían ofrecer aceleraciones exponenciales, posiblemente incluso para problemas de NP completo, lo que implicaría que NP BQP , aunque esto se considera muy poco probable.$\subset$

Adiabatic quantum computation cannot do anything faster than circuit-based quantum computation from a computational complexity perspective. This is because there is a mathematical proof that circuit-based quantum computation can efficiently simulate adiabatic quantum computation [see section 5 of this paper].

can it really be faster than $\mathcal{O}(\sqrt{N})$?

The answer is no. This is because if AQC could do it in, say, $\mathcal{O}(\log{N})$, then circuit-based QC could also do it in $\mathcal{O}(\log{N})$ by the algorithm in section 5 of the paper I linked above. This would violate the optimality of $\mathcal{O}(\sqrt{N})$ for unstructured search.