Construcción de puerta Quantum XNOR

10

Intenté preguntar aquí primero, ya que se había hecho una pregunta similar en ese sitio. Sin embargo, parece más relevante para este sitio.

Tengo entendido que una puerta cuántica XOR es la puerta CNOT. ¿Es la puerta cuántica XNOR una puerta CCNOT?

universal-gates gate-synthesis quantum-gate

— meowzz
fuente

Gracias por traer su pregunta aquí, de hecho es excelente para este sitio.

— James Wootton

7

Cualquier función clásica de un bit donde es una entrada de bits y es una salida de bits puede escribirse como un cálculo reversible, (Tenga en cuenta que cualquier función de $f:x\mapsto y$ $x\in\{0,1\}^n$ $n$ $y\in\{0,1\}$ $n$

F_{r} : (X, y) \mapsto (X, y \oplus F (X))

$f_r:(x,y)\mapsto (x,y\oplus f(x))$

m

$m$ las salidas se pueden escribir como solo

funciones separadas de 1 bit).

m

$m$

Una puerta cuántica que implementa esto es básicamente la puerta cuántica correspondiente a la evaluación de la función reversible. Si simplemente escribe la tabla de verdad de la función, cada línea corresponde a una fila de la matriz unitaria, y la salida le indica qué entrada de columna contiene un 1 (todas las demás entradas contienen 0).

En el caso de XNOR, tenemos la tabla de verdad estándar y la tabla de verdad de función reversible Por lo tanto, la matriz unitaria es

\begin{array}{cc} X & F (X) \\ 00 & 1 \\ 01 & 0 0 \\ 10 & 0 0 \\ 11 & 1 \end{array} \begin{array}{cc} (X, y) & (X, y \oplus F (X)) \\ 000 & 001 \\ 001 & 000 \\ 010 & 010 \\ 011 & 011 \\ 100 & 100 \\ 101 & 101 \\ 110 & 111 \\ 111 & 110 \end{array}

$\begin{array}{c|c} x & f(x) \\ \hline 00 & 1 \\ 01 & 0 \\ 10 & 0 \\ 11 & 1 \end{array} \qquad \begin{array}{c|c} (x,y) & (x,y\oplus f(x)) \\ \hline 000 & 001 \\ 001 & 000 \\ 010 & 010 \\ 011 & 011 \\ 100 & 100 \\ 101 & 101 \\ 110 & 111 \\ 111 & 110 \end{array}$

Esto se puede descomponer fácilmente en términos de un par de compuertas controladas y no un par de vueltas o dos.

U = (\begin{array}{cccccccc} 0 0 & 1 & 0 0 & 0 0 & 0 0 & 0 0 & 0 0 & 0 0 \\ 1 & 0 0 & 0 0 & 0 0 & 0 0 & 0 0 & 0 0 & 0 0 \\ 0 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 0 & 0 0 & 0 0 & 0 0 \\ 0 0 & 0 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 0 & 0 0 & 0 0 \\ 0 0 & 0 0 & 0 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 0 & 0 0 \\ 0 0 & 0 0 & 0 0 & 0 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 0 \\ 0 0 & 0 0 & 0 0 & 0 0 & 0 0 & 0 0 & 0 0 & 1 \\ 0 0 & 0 0 & 0 0 & 0 0 & 0 0 & 0 0 & 1 & 0 0 \end{array}) .

$U=\left(\begin{array}{cccccccc} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end{array}\right).$

$f(x)$ $f(x)$

$x$ $a,b$ $a\in\{0,1\}^{n-1}$ $b\in \{0,1\}$ $a$ $f(a,b)$ $b$

F : (una, si) \mapsto (una, F (una, si)) .

$f:(a,b)\mapsto(a,f(a,b)).$

\begin{array}{cc} una si & F (una, si) \\ 00 & 1 \\ 01 & 0 0 \\ 10 & 0 0 \\ 11 & 1 \end{array}

$\begin{array}{c|c} ab & f(a,b) \\ \hline 00 & 1 \\ 01 & 0 \\ 10 & 0 \\ 11 & 1 \end{array}$

a = 0

$a=0$

1, 0

$1,0$

a = 1

$a=1$

\begin{array}{cc} una si & una F (una, si) \\ 00 & 01 \\ 01 & 00 \\ 10 & 10 \\ 11 & 11 \end{array}

$\begin{array}{c|c} ab & af(a,b) \\ \hline 00 & 01 \\ 01 & 00 \\ 10 & 10 \\ 11 & 11 \end{array}$

U = (\begin{array}{cccc} 0 0 & 1 & 0 0 & 0 0 \\ 1 & 0 0 & 0 0 & 0 0 \\ 0 0 & 0 0 & 1 & 0 0 \\ 0 0 & 0 0 & 0 0 & 1 \end{array})

$U=\left(\begin{array}{cccc} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$

cNOT \cdot (1 \otimes X)

$\text{cNOT}\cdot(\mathbb{1}\otimes X)$

— DaftWullie
fuente

¡brillante! gracias por esto y todas las otras excelentes respuestas que he visto de usted (:

— meowzz

4

El XNOR cuántico no es un CCNOT. CCNOT tomaría 3 bits como entrada, mientras que XOR, XNOR y CNOT tomarían solo 2 bits o qubits como entrada.

Aquí se explica la razón por la que decimos que el XOR puede considerarse un CNOT , y se puede usar el mismo razonamiento para construir el XNOR (2 qubits).

— usuario1271772
fuente

Si XOR == CNOT, ¿XNOR == SWAP?

— meowzz

Parece una pregunta separada.

— user1271772