¿Cuál es el poder real de la estimación de fase cuántica?

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Tengo cierta perplejidad con respecto al concepto de estimación de fase: por definición, dado un operador unitario y un vector propio con valor propio relacionado , la estimación de fase permite encontrar el valor de . ¿Esto significaría que podría determinar un valor propio de una matriz determinada dado que ya conozco uno de sus vectores propios? Pero, ¿no es el hecho de que la necesidad de un vector propio de antemano reduciría la utilidad de la estimación de fase en sí misma? $U$ $|u\rangle$ $\text{exp}(2\pi i \phi)$ $\phi$

algorithm speedup complexity-theory

— FSic
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El punto es que si ya tengo los vectores propios de un operador dado, ¿cuál es el punto de tener los valores propios de dicho operador? Probablemente tenga algunas lagunas para comprender completamente el proceso, pero imagino que sería genial si, dada cualquier matriz, pudiera encontrar rápidamente sus valores propios. Dije "cualquiera" porque también me preguntaba si habría alguna forma de transponer algún tipo de matriz en una versión unitaria y luego encontrar sus valores propios, por ejemplo, para resolver un problema lineal relacionado con él. No sé si lo que digo tiene sentido.

— FSic

Usted puede hacer eso. Es esencialmente el contenido de lo que se conoce como el algoritmo HHL (Harrow, Hassidim y Lloyd), ¡pero eso no corresponde realmente a lo que su pregunta está haciendo!

— DaftWullie

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Si no proporciona un como entrada, hay dos cosas posibles que quizás desee obtener: $|u\rangle$

El para un estado propio elegido aleatoriamente (pero desconocido) ; $\varphi$ $|u\rangle$
Tanto como para uno o más estados propios. $\varphi$ $|u\rangle$

Veamos primero en 1. Puesto que los estados propios forman una base completa, cualquier estado de entrada se utiliza puede ser interpretado como una superposición de los estados propios de . Debido a la linealidad de la mecánica cuántica, el algoritmo se ejecutaría para todos estos estados a la vez. Luego, al final, cuando mide la salida, se colapsará aleatoriamente en una instancia determinada. Esto significa que se le dará un para un estado propio elegido al azar, pero no sabrá cuál es. Por lo tanto, el algoritmo de estimación de fase existente puede proporcionarnos la primera aplicación posible. $U$ $\varphi$

La segunda aplicación es algo que no podemos hacer con la estimación de fase estándar, pero consideremos hipotéticamente. Cualquier algoritmo que pueda hacer esto nos estaría dando un estado propio como parte de la salida. Entonces, si realmente desea saber qué es , tendría que hacer una tomografía en la salida. Dado que la tomografía es ineficiente, probablemente habría mejores maneras de hacerlo. $|u\rangle$ $|u\rangle$

— James Wootton
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A veces, puede conocer el vector propio, y la pregunta computacional que desea responder es cuál es el valor propio. Por ejemplo, cualquier evaluación de función definida por la acción de una para , tiene vectores propios bien definidos, pero si el valor propio es es absolutamente vital: esa es esencialmente la pregunta que se hace en cosas como el algoritmo de Deutsch, Deutsch-Jozsa, el algoritmo de Simon, Bernstein-Vazirani, etc. Es también la forma en que a menudo se construye el oráculo para la búsqueda cuántica. $f(x)$ $U$

U : | x ⟩ | y ⟩ \mapsto | x ⟩ | y \oplus f (x) ⟩

$U:|x\rangle|y\rangle\mapsto|x\rangle|y\oplus f(x)\rangle$

x \in {0, 1}^{n}

$x\in\{0,1\}^n$

y \in {0, 1}

$y\in\{0,1\}$

| x ⟩ (| 0 ⟩ \pm | 1 ⟩) / \sqrt{2},

$|x\rangle(|0\rangle\pm|1\rangle)/\sqrt{2},$

\pm 1

$\pm 1$

En una configuración un poco más generalizada (que se aplica, por ejemplo, al algoritmo de Shor), es posible que no necesite encontrar un valor propio específico, pero una elección aleatoria de algún subconjunto lo hará. Por lo tanto, es posible que haya un estado estándar (por ejemplo, ) que tiene soporte en todos los vectores propios de los que desea elegir un valor propio al azar, pero no tiene idea de cuáles son los vectores propios, pero usted puede ejecutar la estimación de fase con esa entrada, y estará bien. $|00\ldots 01\rangle$

— DaftWullie
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