¿Por qué (casi) cada par de hamiltonianos genera, a través de la conmutación repetida, todo el espacio de las matrices hermitianas?

En [1], se discute el problema de simular un hamiltoniano usando aplicaciones repetidas de un conjunto diferente de hamiltonianos.

En particular, que y sean un par de operadores hermitianos, y que sea el álgebra generado a partir de través de la conmutación repetida . $A$ $B$ $\mathcal L$ $A, B$ $^{\mathbf{(\dagger)}}$

El autor luego pregunta (primer párrafo de la tercera página) qué es para un par arbitrario de observables y , y argumenta que es el espacio de todas las matrices hermitianas, a menos que (citando el artículo) ambas y encuentran en una representación unitaria dimensional de algún grupo de Lie distinto de . $\mathcal L$ $A$ $B$ $\mathcal L$ $e^{iA t}$ $e^{iB t}$ $n$ $U(n)$

No estoy muy familiarizado con la teoría de las álgebras de Lie, por lo que esta afirmación es bastante críptica para mí. ¿Cómo se puede mostrar esto más explícitamente? De manera equivalente, ¿hay una forma más directa de mostrar este hecho?

$(\dagger)$ : más explícitamente, este es el espacio vectorial atravesado por $A, B, i[A,B], [A,[A,B]], ...$

[1] Lloyd 1995, Casi Any Quantum Logic Gate es Universal , Enlace a PRL .

simulation

— glS
fuente

Para cualquier persona a la que le gusten más las álgebras de Lie: solo puede tomar esos dos símbolos A, B y crear el álgebra de Lie gratis

. Así que no hay relaciones en el

además de las que aseguran que todavía es un álgebra de Lie. Entonces deje que

sea la representación que se reduce a matrices reales (entonces

es lo que está llamando A arriba) A partir de aquí hay algunos teoremas muy poderosos que se llaman Kashiwara-Vergne . Estos son útiles para comprender esa fórmula larga de Baker-Campbell-Hausdorff (fórmula más fuerte que Trotter).

F r e e_{2}

$Free_2$

†

$\dagger$

ρ

$\rho$

ρ (A)

$\rho (A)$

— AHusain

¡@AHusain que suena como algo digno de ser una respuesta (no una fácil de entender para mí, pero no obstante ...)!

— glS

No estoy muy familiarizado con la teoría de las álgebras de Lie, por lo que esta afirmación es bastante críptica para mí. ¿Cómo se puede mostrar esto más explícitamente? De manera equivalente, ¿hay una forma más directa de mostrar este hecho?

Aproximadamente al mismo tiempo, David Deutsch et al . demostró lo mismo en este artículo: Universalidad en la computación cuántica (1995) , pero sin usar nunca la palabra "álgebra" o "Mentira" en todo el documento. La prueba comienza en la página 3 y el punto principal está en la ecuación. 9, que es la misma ecuación que aparece en el artículo de Seth Lloyd, pero aquí se explica sin referencia a "Álgebras de mentiras". Eq. 9 es una aplicación de lo que en física a menudo llamamos " división de Trotter ". Fue escrito casi 100 años antes por Sophus Lie, pero no necesita saber nada sobre Lie Algebras o incluso espacios vectoriales para aplicar la fórmula como se hizo en la ecuación. 9)

— usuario1271772
fuente

De nada :) Espero que ayude!

— user1271772

¿Por qué respondería esto a la pregunta? En el documento, H1 y H2 están relacionados (mediante un intercambio), por lo que parecen NO ser independientes como se hizo en la pregunta.

— Norbert Schuch