¿Cómo interpretar un circuito cuántico como una matriz?

Si un circuito toma más de un qubit como entrada y tiene puertas cuánticas que toman diferentes números de qubits como entrada, ¿cómo interpretaríamos este circuito como una matriz?

Aquí hay un ejemplo de juguete:

quantum-gate matrix-representation

— Archil Zhvania
fuente

Circuito específico

La primera puerta es una puerta Hadamard que normalmente está representada por

\frac{1}{\sqrt{2}} [\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & - 1 \end{matrix}]

$\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}$

$H\otimes I$ $I$

\frac{1}{\sqrt{2}} [\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 & 0 0 \\ 0 0 & 1 & 0 0 & 1 \\ 1 & 0 0 & - 1 & 0 0 \\ 0 0 & 1 & 0 0 & - 1 \end{matrix}]

$\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1 & 0 & 1 & 0\\0 & 1 & 0 & 1\\ 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1\end{bmatrix}$

A continuación tenemos una puerta CNOT. Esto normalmente está representado por

[\begin{matrix} 1 & 0 0 & 0 0 & 0 0 \\ 0 0 & 1 & 0 0 & 0 0 \\ 0 0 & 0 0 & 0 0 & 1 \\ 0 0 & 0 0 & 1 & 0 0 \end{matrix}]

$\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\end{bmatrix}$

Este es el tamaño correcto para dos qubits, por lo que no necesitamos escalar usando productos kronecker. Luego tenemos otra puerta hadamard, que escala igual que la primera. Para encontrar la matriz general para el circuito, entonces, los multiplicamos todos juntos:

\frac{1}{\sqrt{2}} [\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 & 0 0 \\ 0 0 & 1 & 0 0 & 1 \\ 1 & 0 0 & - 1 & 0 0 \\ 0 0 & 1 & 0 0 & - 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} 1 & 0 0 & 0 0 & 0 0 \\ 0 0 & 1 & 0 0 & 0 0 \\ 0 0 & 0 0 & 0 0 & 1 \\ 0 0 & 0 0 & 1 & 0 0 \end{matrix}] \frac{1}{\sqrt{2}} [\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 & 0 0 \\ 0 0 & 1 & 0 0 & 1 \\ 1 & 0 0 & - 1 & 0 0 \\ 0 0 & 1 & 0 0 & - 1 \end{matrix}]

$\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1 & 0 & 1 & 0\\0 & 1 & 0 & 1\\ 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\end{bmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1 & 0 & 1 & 0\\0 & 1 & 0 & 1\\ 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1\end{bmatrix}$

y obten

\frac{1}{2} [\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 1 & - 1 & 1 \\ 1 & - 1 & 1 & 1 \\ - 1 & 1 & 1 & 1 \end{matrix}]

$\frac{1}{2}\begin{bmatrix}1&1&1&-1\\1&1&-1&1\\1&-1&1&1\\-1&1&1&1\end{bmatrix}$

(si Python se multiplicó correctamente =) Entonces multiplicaríamos esto por nuestro estado qubit original y obtendríamos nuestro resultado.

Generalización

Básicamente, atraviesas cada puerta una por una, tomas la representación base y las escalas de manera apropiada usando productos kronecker con matrices de identidad. Luego, multiplica todas las matrices en el orden en que se aplican. Asegúrese de hacer esto de tal manera que si escribió la multiplicación, la primera puerta esté en el extremo derecho; Como señala Arriópolis, este es un error común. ¡Las matrices no son conmutativas! Si no conoce la representación base de una matriz, consulte primero el artículo de wikipedia sobre puertas cuánticas que tiene mucho.

— brezo
fuente

Quizás sea instructivo agregar que siempre se debe invertir el orden de la multiplicación de matrices. En este ejemplo de juguete en particular, no es necesario ya que el circuito es simétrico, pero en general, siempre se debe colocar la matriz de la puerta más a la izquierda en la posición más a la derecha de la multiplicación de la matriz.

— arriópolis

@arriopolis, buen punto; ¡Agregaré eso!

— Heather

En lugar de pensar en 'escalar' la puerta, por lo que entendí, el producto kronecker por la matriz de identidad se debe al hecho de que en el segundo qubit no se aplica nada, pero si considera el circuito como un todo, en el primer paso sufrirá una transformación H en el primer qubit y una transformación "I" en el segundo, que se representan a la vez con H⊗I.

— FSic

@F.Siciliano, que es una buena manera de pensarlo también; Para mí es una buena manera de recordarme por qué lo estoy haciendo.

— Heather