Prueba de una desigualdad de información de Holevo

Supongamos que tengo un canal cuántico clásico-clásico $W : \mathcal{X}\times\mathcal{Y} \rightarrow \mathcal{D}(\mathcal{H})$ , donde $\mathcal{X},\mathcal{Y}$ son conjuntos finitos y $\mathcal{D}(\mathcal{H})$ es el conjunto de matrices de densidad en un espacio complejo de Hilbert $\mathcal{H}$ dimensión finita .

Supongamos que $p_x$ es la distribución uniforme en $\mathcal{X}$ y $p_y$ es la distribución uniforme en $\mathcal{Y}$ . Además, defina para las distribuciones $p_1$ en $\mathcal{X}$ y $p_2$ en $\mathcal{Y}$ , la información de Holevo

χ (p_{1}, p_{2}, W) := H (\sum_{x, y} p_{1} (x) p_{2} (y) W (x, y)) - \sum_{x, y} p_{1} (x) p_{2} (y) H (W (x, y))

$\chi(p_1, p_2, W) := H\left(\sum_{x,y}p_1(x)p_2(y)W(x,y)\right) - \sum_{x,y}p_1(x)p_2(y)H(W(x,y))$

donde $H$ es la entropía de von Neumann.

Me gustaría mostrar, para

p_{1} := sup_{p} {χ (p, p_{y}, W)}, p_{2} := sup_{p} {χ (p_{x}, p, W)}

$p_1 := \sup_{p}\left\{ \chi(p, p_y, W)\right\}, p_2 := \sup_{p}\left\{ \chi(p_x, p, W)\right\}$ que,

χ (p_{1}, p_{2}, W) \geq χ (p_{1}, p_{y}, W) and χ (p_{1}, p_{2}, W) \geq χ (p_{x}, p_{2}, W) .

$\chi(p_1, p_2, W) \geq \chi(p_1, p_y, W) \text{ and } \chi(p_1, p_2, W)\geq \chi(p_x, p_2, W).$

Hasta ahora, todavía no estoy convencido de que la afirmación sea cierta en primer lugar. No he avanzado mucho en probar esto, pero parece que algún tipo de desigualdad triangular podría verificar la afirmación.

Gracias por cualquier sugerencia sobre si la declaración debe ser válida y consejos sobre cómo probarla.

quantum-information entropy

— Stephen Diadamo
fuente

Como sugiere la respuesta, intenté usar argmax y no supremum.

— Stephen Diadamo

Parece que la afirmación no es cierta en general. Supongamos que , es el espacio de Hilbert correspondiente a un solo qubit, y se define como $X = Y = \{0,1\}$ $\mathcal{H}$ $W$ Sies la distribución uniforme, la opción óptima paraesy, que da, que es el máximo valor posible (Supongo que te refieres a definiry

\begin{aligned} W (0, 0) & = | 0 ⟩ ⟨ 0 |, \\ W (0, 1) & = | 1 ⟩ ⟨ 1 |, \\ W (1, 0) & = | 1 ⟩ ⟨ 1 |, \\ W (1, 1) & = \frac{1}{2} | 0 ⟩ ⟨ 0 | + \frac{1}{2} | 1 ⟩ ⟨ 1 | . \end{aligned}

$\begin{align} W(0,0) & = | 0 \rangle \langle 0 |,\\ W(0,1) & = | 1 \rangle \langle 1 |,\\ W(1,0) & = | 1 \rangle \langle 1 |,\\ W(1,1) & = \frac{1}{2} | 0 \rangle \langle 0 | + \frac{1}{2} | 1 \rangle \langle 1 |. \end{align}$

p_{y}

$p_y$

p_{1}

$p_1$

p_{1} (0) = 1

$p_1(0) = 1$

p_{1} (1) = 0

$p_1(1) = 0$

χ (p_{1}, p_{y}, W) = 1

$\chi(p_1,p_y,W) = 1$

p_{1}

$p_1$

p_{2}

$p_2$ como el argumento máximo de esas expresiones, no el supremum.) Del mismo modo, si

es uniforme,

es óptimo, y el valor es el mismo. Sin embargo,

, por lo que la desigualdad no se cumple.

p_{x}

$p_x$

p_{2} (0) = 1

$p_2(0) = 1$

p_{2} (1) = 0

$p_2(1) = 0$

χ (p_{1}, p_{2}, W) = 0

$\chi(p_1,p_2,W) = 0$

— John Watrous
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