¿El enredo es transitivo?

¿El enredo es transitivo , en un sentido matemático?

Más concretamente, mi pregunta es esta:

Considere 3 qubits $q_1, q_2$ y $q_3$ . Asumir que

$q_1$ y están enredados, y eso $q_2$
$q_2$ y están enredados $q_3$

Entonces, ¿ están y enredados $q_1$ $q_3$ ? Si es así, ¿por qué? Si no, ¿hay un contraejemplo concreto?

En mi noción de enredo:

los qubits y están enredados, si después de trazar , los qbits y están enredados (trazar corresponde a medir y descartar el resultado). $q_1$ $q_2$ $q_3$ $q_1$ $q_2$ $q_3$ $q_3$
los qubits y están enredados, si después de trazar , los qbits y están enredados. $q_2$ $q_3$ $q_1$ $q_2$ $q_3$
los qubits y están enredados, si después de trazar , los qbits y están enredados. $q_1$ $q_3$ $q_2$ $q_1$ $q_3$

Siéntase libre de usar cualquier otra noción razonable de enredo (no necesariamente la anterior), siempre y cuando establezca claramente esa noción.

entanglement

— Peter
fuente

¿Puedes confirmar la última declaración? Después de su pregunta, esperaba una declaración similar pero con las etiquetas en un orden diferente (una declaración sobre el enredo de q1 y q3 después de medir q2).

— agaitaarino

@agaitaarino He actualizado la parte sobre "enredos", debería estar más claro ahora ...

— Peter

He estado considerando los cuadrados latinos como una matriz de probabilidad en la que los elementos para cualquier matriz dimensional están "enredados", en el sentido de que las probabilidades para cualquier elemento expresado son interdependientes. Cuando agrega dimensiones, esas matrices unidimensionales se intersecan ortogonalmente con otras matrices unidimensionales, extendiendo el "enredo". (Supongo que esto es lo más lejos que se puede encontrar en las malas hierbas: enredos de nociones atípicas, pero no soy la primera persona en plantear la idea de algunas "similitudes en espíritu" entre QT y cuadrados latinos / Sudoku). Gracias Gracias por esta pregunta!

— DukeZhou

Ahora que ha aclarado que está descartando el resultado de la medición, este no es el enredo localizable del que pensé que estaba hablando, es la noción más estándar. Es mejor hablar de "rastrear" el qubit adicional en lugar de medir y descartando el resultado.

— DaftWullie

@DaftWullie Gracias! He actualizado la pregunta en consecuencia

— Peter

Respuestas:

TL; DR: Depende de cómo elija medir el enredo en un par de qubits. Si traza los qubits adicionales, entonces "No". Si mide los qubits (con la libertad de elegir la base de medición óptima), entonces "Sí".

Dejar sea un estado cuántico puro de 3 qubits, etiquetados A, B y C. Diremos que A y B se enredan si no es positiva bajo la acción de la Mapa de transposición parcial. Esta es una condición necesaria y suficiente para detectar enredos en un sistema de dos qubits. El formalismo de traza parcial es equivalente a medir el qubit C de forma arbitraria y descartar el resultado. $|\Psi\rangle$ $\rho_{AB}=\text{Tr}_C(|\Psi\rangle\langle\Psi|)$

Hay una clase de contraejemplos que muestran que el enredo no es transitivo , de la forma proporcionado. Si traza el qubito el qubit, obtendrá la misma matriz de densidad las dos veces:

El | Ψ ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (El | 000 ⟩ + El | 1 ϕ ϕ ⟩),

$|\Psi\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}(|000\rangle+|1\phi\phi\rangle),$

| ϕ ⟩ \neq | 0 ⟩, | 1 ⟩

$|\phi\rangle\neq |0\rangle,|1\rangle$

B

$B$

C

$C$

se puede tomar la transposición parcial de esto (tomarlo en el primer sistema es el más limpio):

ρ_{UN C} = ρ_{UN si} = \frac{1}{2} (El | 00 ⟩ ⟨ 00 El | + El | 1 ϕ ⟩ ⟨ 1 ϕ El | + El | 00 ⟩ ⟨ 1 ϕ El | ⟨ ϕ El | 0 0 ⟩ + El | 1 ϕ ⟩ ⟨ 00 El | ⟨ 0 0 El | ϕ ⟩)

$\rho_{AC}=\rho_{AB}=\frac12\left(|00\rangle\langle 00|+|1\phi\rangle\langle 1\phi|+|00\rangle\langle 1\phi|\langle\phi|0\rangle+|1\phi\rangle\langle 00|\langle0|\phi\rangle\right)$

Ahora toma el determinante (que es igual al producto de los valores propios). Usted consigue

ρ^{PAG T} = \frac{1}{2} (El | 00 ⟩ ⟨ 00 El | + El | 1 ϕ ⟩ ⟨ 1 ϕ El | + El | 10 ⟩ ⟨ 0 0 ϕ El | ⟨ ϕ El | 0 0 ⟩ + El | 0 0 ϕ ⟩ ⟨ 10 El | ⟨ 0 0 El | ϕ ⟩)

$\rho^{PT}=\frac12\left(|00\rangle\langle 00|+|1\phi\rangle\langle 1\phi|+|10\rangle\langle 0\phi|\langle\phi|0\rangle+|0\phi\rangle\langle 10|\langle0|\phi\rangle\right)$

que es negativo, por lo que debe ser un valor propio negativo. Por lo tanto,

son pares entrelazados. Mientras tanto

det (ρ^{PAG T}) = - \frac{1}{dieciséis} El | ⟨ 0 0 El | ϕ ⟩ {El |}^{2} (1 - El | ⟨ 0 0 El | ϕ ⟩ {El |}^{2})^{2},

$\text{det}(\rho^{PT})=-\frac{1}{16}|\langle 0|\phi\rangle|^2(1-|\langle 0|\phi\rangle|^2)^2,$

(A B)

$(AB)$

(A C)

$(AC)$

Como se trata de una matriz de densidad válida, no es negativa. Sin embargo, la transposición parcial es igual a sí misma. Por lo tanto, no hay valores propios negativos y

no está enredado.

ρ_{si C} = \frac{1}{2} (El | 00 ⟩ ⟨ 00 El | + El | ϕ ϕ ⟩ ⟨ ϕ ϕ El |) .

$\rho_{BC}=\frac12(|00\rangle\langle 00|+|\phi\phi\rangle\langle\phi\phi |).$

(B C)

$(BC)$

Enredo Localizable

Uno podría, en cambio, hablar sobre el enredo localizable . Antes de una mayor aclaración, esto es a lo que pensé que se refería el OP. En este caso, en lugar de rastrear un qubit, uno puede medirlo según su elección y calcular los resultados por separado para cada resultado de medición. (Más adelante hay un proceso de promedio, pero eso será irrelevante para nosotros aquí). En este caso, mi respuesta es específicamente sobre estados puros, no estados mixtos.

La clave aquí es que hay diferentes clases de estado enredado. Para 3 qubits, hay 6 tipos diferentes de estado puro:

un estado completamente separable
3 tipos donde hay un estado enredado entre dos partes, y un estado separable en el tercero
un estado W
un estado GHZ

$(q_1,q_2)$ $(q_2,q_3)$

El | W ⟩ = \frac{1}{\sqrt{3}} (El | 001 ⟩ + El | 010 ⟩ + El | 100 ⟩) El | sol H Z ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (El | 000 ⟩ + El | 111 ⟩)

$|W\rangle=\frac{1}{\sqrt{3}}(|001\rangle+|010\rangle+|100\rangle)\qquad |GHZ\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}(|000\rangle+|111\rangle)$

— DaftWullie
fuente

Gracias, esto ya se aclara bastante. ¿Podría señalarme la medida "estándar" de enredo? Me gustaría usar eso explícitamente en mi pregunta.

— Peter

@ Peter: vea si la versión editada ayuda aún más.

— DaftWullie

Gracias por esta respuesta! ¿Puedo hacer una pregunta ingenua sobre simetría en este contexto? "Ambos representantes son simétricos bajo el intercambio de partículas". (Estoy muy interesado en diferentes conceptos de simetría en general.)

— DukeZhou

@DaftWullie: dado que su respuesta parece ser "no, el enredo no es transitivo, incluso en sistemas de tres qubits", ¿tal vez debería condensar su respuesta para que esto sea un poco más obvio?

— Niel de Beaudrap

{SWAP}_{A, B} | Ψ ⟩ = | Ψ ⟩

$\text{SWAP}_{A,B}|\Psi\rangle=|\Psi\rangle$

Esta no es una respuesta, sino solo algunos hechos de fondo que es importante conocer para evitar un territorio "ni siquiera incorrecto" en este tipo de preguntas.

El "enredo" no es todo o nada. Solo decir "q1 está enredado con q2 y q2 está enredado con q3" no es suficiente información para determinar la respuesta a preguntas como "si mido q3, ¿q1 seguirá enredado con q2?". El enredo se complica cuando se trata de sistemas más grandes. Realmente necesita saber el estado específico y la medición, y si se le permite condicionar el resultado de la medición.

Puede darse el caso de que q1, q2, q3 se enreden como un grupo, pero si traza cualquiera de los qubits, entonces la matriz de densidad de los dos restantes describe un simple estado clásicamente correlacionado. (Por ejemplo, esto sucede con los estados GHZ).

Debes ser consciente de la monogamia del enredo . Más allá de cierto umbral, aumentar la fuerza del enredo entre q1 y q2 debe disminuir la fuerza del enredo entre q1 y q3 (y, de manera equivalente, q2 y q3).

— Craig Gidney
fuente

¡yay por señalar la monogamia del enredo!

— agaitaarino

¡@agaitaarino que conduce a un "enredo aplastado" y a la entropía de Von Neumann!

— DukeZhou

Leí lo siguiente en la triple clasificación de Freudenthal de enredos de tres qubits :

"Dür et al. ( Tres qubits pueden enredarse de dos maneras no equivalentes ) usaron argumentos simples sobre la conservación de los rangos de las matrices de densidad reducida, aquí solo hay seis clases de equivalencia de tres qubits:

Nulo (La órbita trivial de enredo cero correspondiente a los estados de fuga)
Separable (otra órbita de enredo cero para estados de producto completamente factorizables)
Biseparable (tres clases de enredos bipartitos: A-BC, B-AC, C-AB)
W (Estados enredados de tres vías que no violan al máximo las desigualdades de tipo Bell) y
GHZ (viola al máximo las desigualdades de tipo Bell) "

que, según tengo entendido, la respuesta a su pregunta es sí : si A y B están enredados y B y C están enredados, necesariamente se encuentra en uno de los tres estados enredados, por lo que A y C también están enredados.

— agaitaarino
fuente