Modelos de canales cuánticos

El llamado canal de despolarización es el modelo de canal que se usa principalmente al construir códigos de corrección de errores cuánticos. La acción de dicho canal sobre un estado cuántico es $\rho$

$\rho\rightarrow(1-p_x-p_y-p_z)\rho+p_xX\rho X+p_yY\rho Y+p_zZ\rho Z$

Me preguntaba qué otros modelos de canales se consideran en las comunicaciones cuánticas, y cómo se afecta la construcción de códigos de corrección de errores al considerar estos otros canales.

— Josu Etxezarreta Martinez
fuente

Primero déjenme mencionar un punto menor relacionado con la terminología. El tipo de canal que sugiere a menudo se denomina canal Pauli ; el término canal de despolarización generalmente se refiere al caso donde . $p_x = p_y = p_z$

De todos modos, no es realmente correcto decir que los canales de Pauli son el modelo de canal considerado para la corrección de errores cuánticos. Los códigos estándar de corrección de errores cuánticos pueden proteger contra errores arbitrarios (representados por cualquier canal cuántico que pueda elegir) siempre que los errores no afecten a demasiados qubits.

Como ejemplo, consideremos un error arbitrario de un solo qubit, representado por un canal mapeando un qubit a un qubit. Tal canal se puede expresar en forma de Kraus como para algunas opciones de operadores de Kraus . (Para un canal qubit, siempre podemos tomar si lo deseamos). Por ejemplo, puede elegir estos operadores para que $\Phi$

Φ (ρ) = A_{1} ρ A_{1}^{†} + \dots + A_{m} ρ A_{m}^{†}

$\Phi(\rho) = A_1 \rho A_1^{\dagger} + \cdots + A_m \rho A_m^{\dagger}$

A_{1}, \dots, A_{m}

$A_1,\ldots,A_m$

m = 4

$m = 4$

para cada estado de qubit

, puede hacer que el error sea unitario, o cualquier otra cosa que elija. La elección incluso puede ser contradictoria, seleccionada después de saber cómo funciona el código.

Φ (ρ) = | 0 ⟩ ⟨ 0 |

$\Phi(\rho) = |0\rangle \langle 0|$

ρ

$\rho$

Cada uno de los operadores Kraus puede expresarse como una combinación lineal de operadores Pauli, porque los operadores Pauli forman una base para el espacio de 2 por 2 matrices complejas: Si ahora expande la representación de Kraus de arriba, obtendrá una expresión desordenada donde parece una combinación lineal de operadores de la forma donde $A_k$

A_{k} = a_{k} I + b_{k} X + c_{k} Y + d_{k} Z .

$A_k = a_k I + b_k X + c_k Y + d_k Z.$

Φ

$\Phi$

Φ (ρ)

$\Phi(\rho)$

P_{i} ρ P_{j}

$P_i \rho P_j$

, y

i, j \in {1, 2, 3, 4}

$i,j\in\{1,2,3,4\}$

P_{1} = I

$P_1 = I$

P_{2} = X

$P_2 = X$

P_{3} = Y

$P_3 = Y$

P_{4} = Z

$P_4 = Z$

$X$ $Y$ $Z$

$\Phi$

P_{i} | ψ ⟩ ⟨ ψ | P_{j} \otimes | P_{i} syndrome ⟩ ⟨ P_{j} syndrome | .

$P_i |\psi\rangle \langle \psi| P_j \otimes |P_i\: \text{syndrome}\rangle\langle P_j\:\text{syndrome}|.$

| ψ ⟩

$|\psi\rangle$

P_{i}

$P_i$

P_{j}

$P_j$

P_{i}

$P_i$

P_{j}

$P_j$

P_{i} | ψ ⟩ ⟨ ψ | P_{i} \otimes | P_{i} syndrome ⟩ ⟨ P_{i} syndrome | .

$P_i |\psi\rangle \langle \psi| P_i \otimes |P_i\: \text{syndrome}\rangle\langle P_i\:\text{syndrome}|.$

Todo esto se describe (algo brevemente) en la Sección 10.2 de Nielsen y Chuang.

— John Watrous
fuente

Gracias por la información, pero estaba al tanto de ese efecto llamado "discretización de errores", que causa el hecho de que la corrección del canal Pauli para un solo qubit corrige errores arbitrarios en qubits individuales debido al colapso del estado después de la medición. Sin embargo, estoy interesado en lo que realmente dice "si los errores no afectan demasiados qubits". ¿Qué pasaría si eso no es cierto? Gracias.

— Josu Etxezarreta Martinez

También para señalar, he visto que el canal Pauli se conoce como "canal Pauli asimétrico" a veces en la literatura, por eso hice la pregunta usando esa expresión.

— Josu Etxezarreta Martinez

Mis disculpas si le he explicado algo que ya sabe, solo he tratado de responder la pregunta que interpreto de lo que ha escrito. Además, mis comentarios sobre la terminología simplemente reflejan mi visión de lo que es típico y apuntan solo a evitar confusiones: todos son libres de usar la terminología que prefieran y, por supuesto, no siempre hay un acuerdo perfecto, tanto en el tiempo como en términos de lo que las personas preferir.

— John Watrous

Creo que la respuesta a la pregunta en su comentario es que depende tanto del error como del código. Por supuesto, el código podría no corregir un error si afecta a demasiados qubits. Por otro lado, hay, por ejemplo, los llamados códigos degenerados que corrigen más errores de los que realmente pueden identificar, y pueden ser útiles para altas tasas de ruido. Estos son objetos muy interesantes, pero creo que muchas preguntas fundamentales sobre ellos permanecen sin respuesta.

— John Watrous

@ JohnWatrous, te invito a mi pregunta aquí: quantumcomputing.stackexchange.com/questions/5794/… Amablemente ayuda a responder.

— Tobias Fritzn