¿Cómo afecta el tamaño de un toro de código tórico a su capacidad para proteger qubits?

El código tórico hamiltoniano es:

$\sum_{x,y}\left( \prod_{i\in p(x,y)} Z_{ixy} + \prod_{i\in v(x,y)} X_{ixy} \right),$

donde y se definen de acuerdo con esta imagen (cortesía de la contribución de James Wooton a Wikipedia):$v$$p$

Por el momento tenemos una red 2D infinita:

y → ± $x\rightarrow \pm \infty$
$y\rightarrow \pm \infty$ .

Pero si establecemos condiciones de límite periódicas de tal manera (y siéntase libre de editar la pregunta si estoy equivocado al respecto):

$p(x+10,y)=p(x,y)$
$v(x,y+10)=v(x,y)$ ,

Obtenemos el siguiente toro (imagen cortesía de la contribución de James Wooton a Wikipedia):

Ahora, en mis condiciones de contorno periódicas, elegí agregar pero podría haber agregado otro número en su lugar. ¿Cómo afecta este "tamaño del toro" a la función del código tórico?$+10$

El código tórico es un código de corrección de errores. La distancia del código (es decir, el número de operaciones locales requeridas para convertir un estado lógico en uno ortogonal) es igual a , donde el código tórico se define en una cuadrícula$N$$N\times N$

Uno de los lugares en los que el rendimiento del código Toric realmente gana es que, aunque es solo la distancia , la gran mayoría de los conjuntos de errores de un solo qubit se pueden corregir, y solo una vez que obtienes errores que te matan. Eso significa que a medida que , esos términos desaparecen, y obtiene una tasa de error finita por qubit como umbral para la corrección de errores. Para finito , el umbral de corrección de errores será menor.$N$$N$$O(N^2)$$N\rightarrow\infty$$O(N)$$N$