¿Está permitido actuar con un mapa positivo en un estado que no forma parte de un sistema más grande?

En los comentarios a una pregunta que hice recientemente, hay una discusión entre el usuario 1271772 y yo sobre operadores positivos.

Sé que para un operador de preservación de traza positivo (por ejemplo, la transposición parcial) si actúa en un estado mixto entonces, aunque es una matriz de densidad válida, arruina la matriz de densidad del sistema. enredado en - por lo tanto, este no es un operador válido. $\Lambda$ $\rho$ $\Lambda(\rho)$

Esto y los comentarios de user1271772, sin embargo, me hicieron pensar. actúa sobre un estado que no es parte de un sistema más grande, de hecho, proporciona una matriz de densidad válida y no hay un sistema enredado asociado que lo arruine. $\Lambda$

Mi pregunta es, por lo tanto: ¿Está permitida tal operación (es decir, la acción de un mapa positivo en un estado que no es parte de un sistema más grande). ¿Si no, porque no? Y si es así, ¿es cierto que cualquier mapa positivo puede extenderse a un mapa completamente positivo (quizás no trivialmente)?

— Espaguetización cuántica
fuente

Con respecto a la última oración de la pregunta, puede ser útil observar que cualquier mapa lineal desde matrices cuadradas a matrices cuadradas, independientemente de ser positivo o completamente positivo, está determinado únicamente por su acción sobre las matrices de densidad de estado puro (simplemente porque el las matrices de densidad de estado puro abarcan el espacio de todas las matrices). Por lo tanto, no hay forma de "extender" dicho mapa para hacerlo completamente positivo sin cambiar su acción en estados puros.

Λ

$\Lambda$

— John Watrous

¿Por qué la transposición parcial que actúa sobre un estado puro da una matriz de densidad válida? ¿O simplemente quiere decir "actuar en un estado que no es parte de un sistema más grande"? (El primero no parece tener sentido: cualquier mapa será "más positivo" en estados mixtos que en estados puros. El último simplemente se llama "mapa positivo".)

— Norbert Schuch

@NorbertSchuch me refiero a "actuar en un estado que no es parte de un sistema más grande", ¿no es esto lo mismo que un estado puro?

— Spaghettification cuántica

@Quantumspaghettification No. (Bueno, es un poco una cuestión de creencia, pero la forma en que está redactada es muy engañosa con respecto al idioma habitual. Tuve que leerlo varias veces para adivinar lo que quieres decir. Sugeriría reformular en consecuencia.

— Norbert Schuch

@Quantumspaghettification

: Un estado puro. De lo contrario (es decir, el rango de

): estado mixto. En cualquiera de ellos, la transposición produce un positivo

. Solo si aplicamos

a un estado mayor (ya sea puro o mixto), obtenemos un estado no positivo.

ρ = | ψ ⟩ ⟨ ψ |

$\rho=|\psi\rangle\langle\psi|$

ρ

$\rho$

> 1

$>1$

Λ (ρ)

$\Lambda(\rho)$

Λ \otimes I

$\Lambda\otimes I$

— Norbert Schuch

Respuestas:

Cualquier mapa que no sea Completamente Positivo, Preservación de Rastreo (CPTP), no es posible como una "operación permitida" (una cuenta más o menos completa de cómo se transforma algún sistema) en la mecánica cuántica, independientemente de los estados a los que está destinado actuar sobre.

La restricción de que los mapas sean CPTP proviene de la física misma. Las transformaciones físicas en sistemas cerrados son unitarias, como resultado de la ecuación de Schrödinger. Si permitimos la posibilidad de introducir sistemas auxiliares, o de ignorar / perder sistemas auxiliares, obtenemos un mapa CPTP más general, expresado en términos de una dilatación de Stinespring. Más allá de esto, debemos considerar los mapas que pueden ocurrir solo con una probabilidad significativa de falla (como con la postselección). Esta es quizás una forma de describir una "extensión" para mapas que no son CPTP a mapas CPTP: diseñarla para que pueda describirse como algo provocativo con cierta probabilidad y algo poco interesante con una probabilidad posiblemente mayor;

En un nivel superior, aunque podemos considerar el enredo como un fenómeno extraño, y de alguna manera especial para la mecánica cuántica, las leyes de la mecánica cuántica en sí mismas no hacen distinciones entre los estados entrelazados y los estados del producto. No hay sentido en el que la mecánica cuántica es delicada o sensible a la mera presencia de correlaciones no locales (que son correlaciones en lo que nosestán preocupados por), lo que haría imposible alguna transformación en los estados enredados simplemente porque podría producir un resultado vergonzoso. O un proceso es imposible, y en particular no es posible en los estados del producto, o es posible, y cualquier vergüenza sobre el resultado de los estados enredados es nuestra, debido a la dificultad para comprender lo que ha sucedido. Lo que tiene de especial el enredo es la forma en que desafía nuestras ideas preconcebidas de motivación clásica, no la forma en que los estados enredados evolucionan en el tiempo.

— Niel de Beaudrap
fuente

¿Qué ley de física requiere que los subsistemas del universo evolucionen de esta manera? Si solo asumimos que el universo evoluciona de acuerdo con la ecuación de Schroedinger, ¿podemos demostrar que todos los subsistemas deben evolucionar de manera CPTP? Nunca he visto tal prueba, y otros están de acuerdo: sciencedirect.com/science/article/pii/S0375960105005748 . Hice la pregunta aquí: quantumcomputing.stackexchange.com/questions/2073/… .

— user1271772

Después de leer más, he encontrado un contraejemplo a su afirmación de que la dinámica debe ser CPTP. Cuando la matriz de densidad inicial está dada por la ecuación. 6 de sciencedirect.com/science/article/pii/S0375960105005748 , y el Hamiltoniano se da en ese mismo párrafo,

conduce a una matriz de densidad "total" donde la matriz de densidad del subsistema ni siquiera positivo. La idea clave es que el sistema y su baño están enredados incluso en el tiempo

. Creo que debe suponer que no hay enredos entre el sistema y el baño en

para forzar el CPTP en el camino de Choi o el de Alicki.

e^{- i H t} ρ e^{i H t}

$e^{-iHt}\rho e^{iHt}$

t = 0

$t=0$

t = 0

$t=0$

— user1271772

@ user1261772: si no se le permite asumir que no hay enredos entre el sistema y el baño, ¿en qué sentido es significativo considerar un mapa solo en el sistema? El enredo preexistente no tiene sentido la idea de que incluso estamos tratando de proporcionar una "cuenta más o menos completa" de cómo evoluciona el sistema. Y --- finalmente --- si el operador del subsistema ni siquiera es positivo, ¿cómo podemos interpretar la posibilidad de obtener probabilidades negativas (o probabilidades supernormalizadas) de algunos de los estados propios?

— Niel de Beaudrap

"Esta es quizás una forma de describir una" extensión "para mapas que no son CPTP a mapas CPTP, diseñándola para que pueda describirse como algo provocativo con cierta probabilidad y algo poco interesante con una probabilidad posiblemente mayor" . algún ejemplo para eso? Me parece que esto con cierta probabilidad produciría una salida que no es positiva, que no puede ser.

— Norbert Schuch

@Neil: Nunca dije que no se permite asumir ningún enredo entre el sistema y el baño. El documento dijo que los argumentos hechos por Choi y Alicki para los mapas de CPTP no suponían una correlación inicial, luego dieron un ejemplo de cómo un OQS que se correlaciona inicialmente con su baño, puede tener una evolución no positiva cuando el sistema + baño se desarrolla utilizando

y luego se traza el baño. Usted dice que la idea previa al entrelazamiento es "sin sentido", pero si busca "correlaciones iniciales" encontrará una gran cantidad de literatura sobre OQS que se correlacionan inicialmente con sus baños.

e^{- i H t} ρ e^{i H t}

$e^{-iHt}\rho e^{iHt}$

— user1271772

La situación de los mapas no completamente positivos (o, en general, los mapas no lineales) es controvertida en parte debido a la definición precisa de cómo se debe construir el mapa . Pero es fácil encontrar un ejemplo de algo que parece ser NCP o incluso no lineal.

Mapa no lineal

$\rho$ $\rho$ $\rho$ $\rho\otimes\rho$

No imagine que también tiene el siguiente cuadro negro: tiene (por lo que puede ver) una entrada y dos salidas. En realidad (desconocido para usted) tiene dos entradas y dos salidas y simplemente escupe tanto el qubit del sistema como el qubit del entorno. Por lo que puedes ver, esta caja negra es una máquina de clonación, que viola la linealidad.

$\rho\otimes\rho^T$

$\rho$

— Aharon Brodutch
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-3

Ninguna ley de la física establece que debemos ser capaces de desarrollar un subsistema del universo por sí solo.

No habría forma de probar definitivamente dicha ley.

$\rm{Tr}(\rho_{\rm{universe}})\lt1$ $\rho_{\rm{universe}}$ $\rho_{\rm{universe}}<0$

$\rho_{\rm{universe}}(0)\rightarrow\rho_{\rm{universe}}(t)$

Por conveniencia, nos gusta modelar subregiones del universo e introducir positividad completa para eso. Pero un día podría surgir un experimento que nos resulta imposible explicar ² , tal vez porque hemos elegido modelar el universo de una manera que no es compatible con la forma en que funciona realmente el universo.

$\rho_{\rm{universe}}$ $\rho_{\rm{universe}}$ Los subsistemas evolucionan de esta manera, no solo el universo como un todo.

ϵ

$\epsilon$

ϵ

$\epsilon$

2 : Este ya es el caso, pero supongamos que la gravedad no existe y que la mecánica cuántica (QED + QFD + QCD) es correcta, y todavía nos resulta imposible explicar algo, a pesar de tener (de alguna manera) poder mágico de la computadora para Calcular todo lo que queramos al instante.

— usuario1271772
fuente

T r ρ_{u n i v e r s e}

$Tr \rho_{universe}$

@AHusain: La pregunta era sobre mapas de preservación de trazas, que implican la traza. La pregunta fue dirigida a mí. Déjame decidir cómo me gustaría responder la pregunta.

— user1271772

Solo quería señalar que los espacios de Hilbert de dimensiones finitas e infinitas tienen algunas diferencias sustanciales. Estados en diferentes tipos de álgebras de VonNeumann. Eso es todo.

— AHusain

ρ_{u n i v e r s e}

$\rho_{\rm{universe}}$

ρ_{u n i v e r s e}

$\rho_{\rm{universe}}$

Si va a rechazar una respuesta que tomó toda una mañana (¿quizás 3-4 horas?) Para escribir y formatear, ¿no sería justo explicar lo que no le gustó?

— user1271772