¿Por qué las puertas cuánticas son unitarias y no unitarias especiales?

Dado que las fases globales de los estados no pueden discernirse físicamente, ¿por qué los circuitos cuánticos se expresan en términos de unitarios y no de unitarios especiales? Una respuesta que obtuve fue que es solo por conveniencia, pero todavía no estoy seguro.

Una pregunta relacionada es esta: ¿hay alguna diferencia en la implementación física de una unitaria (matriz matemática) y , digamos en términos de algunas puertas elementales? Supongamos que no hay (que es lo que entiendo). Entonces, la implementación física de y debería ser la misma (solo agregue controles a las puertas elementales). Pero luego llego a la contradicción de que y de estos dos unitarios pueden no ser equivalentes hasta la fase (como matrices matemáticas), por lo que parece plausible que correspondan a diferentes implementaciones físicas .V : = e i α U c - U c - V c - U c - $U$$V: =e^{i\alpha}U$$c\text{-}U$$c\text{-}V$$c\text{-}U$$c\text{-}V$

¿Qué he hecho mal en mi razonamiento aquí, porque ahora sugiere que y deben implementarse de manera diferente a pesar de que son equivalentes hasta la fase?$U$$V$

Otra pregunta relacionada (de hecho, el origen de mi confusión, estaría muy agradecido por una respuesta a esta): parece que uno puede usar un circuito cuántico para estimar tanto el módulo como la fase de la superposición compleja (ver https://arxiv.org/abs/quant-ph/0203016 ). ¿Pero no implica esto nuevamente que y son mediblemente diferentes?$\langle\psi|U|\psi\rangle$$U$$e^{i\alpha}U$

Incluso si solo se limita a operaciones unitarias especiales, los estados aún acumularán una fase global. Por ejemplo, es unitario especial pero .$Z = \begin{bmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{bmatrix}$$Z \cdot |0\rangle = i |0\rangle \neq |0\rangle$

Si los estados van a acumular una fase global no observable de todos modos , ¿qué beneficio obtenemos de limitarnos a operaciones unitarias especiales?

¿Hay alguna diferencia en la implementación física de una unitaria (matriz matemática) y , digamos en términos de algunas puertas elementales?$U$$V :=e^{i\alpha}U$

Mientras no esté haciendo nada que pueda hacer que las fases globales sean relevantes, pueden tener la misma implementación. Pero si vas a hacer algo como, uh-

agregar controles a las puertas elementales

Si, como esto. Si haces cosas así, no puedes ignorar las fases globales. Los controles convierten las fases globales en fases relativas. Si desea ignorar por completo la fase global, no puede tener un modificador de operación de "agregar un control" de cuadro negro.

El hecho de que las puertas cuánticas son unitarias se basa en el hecho de que la evolución de los sistemas cuánticos (cerrados) se debe a la ecuación de Schrödiner. Para un intervalo de tiempo en el que estamos tratando de realizar una transformación unitaria particular a una velocidad constante, utilizamos la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo:

$$\tfrac{\mathrm d}{\mathrm dt} \lvert \psi(t) \rangle = \tfrac {1}{i\hbar}H \lvert \psi(t) \rangle,$$

donde es el hamiltoniano del sistema: una matriz hermitiana, cuyos valores propios describen valores propios de energía. En particular, los valores propios de son reales. La solución a esta ecuación es$H$$H$

U = exp ( - i H t / ℏ ) H E e i E t /

$$\lvert \psi(t) \rangle = \exp\bigl(-i H t/\hbar\bigr) \lvert \psi(0) \rangle$$ donde es la matriz que se obtiene tomando los vectores propios de y reemplazando sus valores propios con . Por lo tanto, a partir de una matriz con valores propios reales, obtenemos una matriz cuyos valores propios son números complejos con unidad de norma.$U = \exp(-iHt/\hbar)$$H$$E$$\mathrm{e}^{iEt/\hbar}$

¿Qué se necesitaría para que esta evolución sea específicamente una matriz unitaria especial? Una matriz unitaria especial es aquella cuyo determinante es precisamente ; es decir, cuyos valores propios se multiplican por . Esto corresponde a la restricción de que todos los valores propios de suman cero. Además, debido a que los valores propios de son niveles de energía, ya sea1 H $1$$1$$H$$H$la suma de sus valores propios es igual a cero depende de cómo haya decidido fijar cuál es su punto de energía cero, que en realidad es una elección subjetiva del marco de referencia. (En particular, si decide adoptar la convención de que todos sus niveles de energía no son negativos, esto implica que ningún sistema interesante tendrá la propiedad de los valores propios de energía que suman cero).

En resumen, las puertas son unitarias en lugar de unitarias especiales, porque el determinante de una puerta no corresponde a propiedades físicamente significativas, en el sentido explícito de que la puerta surge de la física, y las condiciones que corresponden al determinante de la puerta son 1 es una condición del propio marco de referencia y no de la dinámica física.

Al escribir compuertas para, por ejemplo, un diagrama de circuito cuántico, siempre puede escribirlas usando la convención de tener una determinante (del grupo unitario especial), pero es solo una convención. No hace ninguna diferencia física al circuito que implementa. Como se dijo en otra parte , si lo que usted produce naturalmente corresponde directamente al unitario especial es realmente una elección de convención, y dónde define su energía 0 para ser.

En cuanto al problema cuando comienzas a implementar controlado , hay que hacer una comparación interesante. Digamos que definimos . ¿Cómo podemos implementar la controlada en términos de controlada ? Aplica la controlada y luego, en el qubit de control, aplica la puerta de fase . Hay dos cosas para observar aquí. Primero, la diferencia está en el qubit de control en lugar del qubit de destino. El qubit objetivo, donde estás implementando laV = e i α V U U ( 1 0 0 e i α ) U ( e - i α / 2 0 0 e i α / 2$U$$V=e^{i\alpha}$$V$$U$$U$$\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & e^{i\alpha} \end{array}\right)$$U$, realmente no le importa la diferencia de fase. Es el qubit de control que es golpeado por la puerta de fase. La segunda es que no escribí la puerta de fase como unitario unitario especial. Por supuesto, podría haberlo escrito como pero no lo hice porque la forma en que elegí escribirlo era notoriamente más conveniente, menos escribir para mí y espero que sea más inmediatamente obvio para ti por qué funciona.$\left(\begin{array}{cc} e^{-i\alpha/2} & 0 \\ 0 & e^{i\alpha/2}\end{array}\right)$

Respuesta simple y simple: en ausencia de decoherencia, los vectores de estado evolucionan de acuerdo conpara unhamiltoniano. Esto es lo que está haciendo una "puerta". Los hamiltonianos tienen que ser hermitianos, por lo que esta transformación es unitaria. Los hamiltonianos no tienen que tener valores propios que sumen 0, por lo que la transformación no tiene que ser unitaria especial.$|\psi(t)\rangle = e^{-iHt}|\psi(0)\rangle$$H$