¿Por qué es crucial que el Hamiltoniano inicial no viaje con el Hamiltoniano final en la computación cuántica adiabática?

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He leído en muchas fuentes y libros sobre computación cuántica adiabática (AQC) que es crucial para la inicial hamiltoniano a no conmutar con el final de hamiltoniano , es decir, . Pero nunca he visto una discusión sobre por qué es tan importante. $\hat{H}_i$ $\hat{H}_f$ $\left[\hat{H}_i,\hat{H}_f\right]\neq 0$

Si suponemos una dependencia del tiempo lineal el hamiltoniano de la AQC es

\hat{H} (t) = (1 - \frac{t}{τ}) {\hat{H}}_{yo} + \frac{t}{τ} {\hat{H}}_{F}, (0 0 \leq t \leq τ)

$\hat{H}\left(t\right)~=~\left(1-\frac{t}{\tau}\right)\hat{H}_i+\frac{t}{\tau}\hat{H}_f, \qquad \left(0\leq t\leq \tau \right)$ donde

τ

$\tau$ es la escala de tiempo adiabática.

Entonces mi pregunta es: ¿Por qué es crucial que el hamiltoniano inicial no viaje con el hamiltoniano final?

annealing adiabatic-model

— Turbotanten
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En el control de calidad adiabático, codifica su problema en un hamiltoniano de modo que su resultado pueda extraerse del estado fundamental. Preparar ese estado fundamental es difícil de hacer directamente, por lo que en su lugar prepara el estado fundamental de un hamiltoniano 'fácil' y luego interpola lentamente entre los dos. Si va lo suficientemente lento, el estado de su sistema permanecerá en el estado fundamental. Al final de su proceso, tendrá la solución.

Esto funciona de acuerdo con el teorema adiabático . Para que se mantenga el teorema, debe haber una brecha de energía entre el estado fundamental y el primer estado excitado. Cuanto más pequeño sea el espacio, más lento necesitará interpolar para evitar la mezcla entre el estado fundamental y los primeros estados excitados. Si se cierra la brecha, no se puede evitar dicha mezcla y no se puede ir lo suficientemente lento. El procedimiento falla en ese punto.

Si el viaje Hamiltoniano inicial y final, significa que tienen los mismos estados propios de energía. Entonces están de acuerdo en qué estados reciben la energía asignada, y solo no están de acuerdo con las energías que obtienen. La interpolación entre los dos hamiltonianos solo cambia las energías. Por lo tanto, el estado fundamental final habría sido un estado excitado al principio, y el estado fundamental original se excita al final. En algún momento, al pasar uno al lado del otro, las energías de estos estados serán iguales, por lo que la brecha entre ellos se cerrará. Esto es suficiente para ver que la brecha energética debe cerrarse en algún momento.

Por lo tanto, tener hamiltonianos que no viajan diariamente es una condición necesaria para mantener la brecha abierta, y por lo tanto para AQC.

— James Wootton
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Esto suena bastante convincente y claro. ¿Puede explicar explícitamente por qué no puede haber un cruce evitado durante la evolución adiabática (que permitiría cambiar la naturaleza del estado fundamental pero sin degeneración)?

— agaitaarino

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Si dos matrices (en este caso, los hamiltonianos) conmutan, tienen los mismos vectores propios. Por lo tanto, si prepara un estado fundamental del primer hamiltoniano, entonces (en términos generales) seguirá siendo un estado propio durante toda la evolución adiabática, y entonces obtendrá exactamente lo que puso. No tiene valor.

Si quieres ser un poco más estricto, entonces podría ser que tu Hamiltoniano inicial tenga una degeneración que es levantada por el segundo Hamiltoniano, y es posible que desees hacer que el sistema evolucione a un estado fundamental único. Sin embargo, tenga en cuenta que la degeneración se levanta en el instante en que hay una cantidad distinta de cero del segundo hamiltoniano. Cualquier efecto que pueda tener es instantáneo. Creo que no obtienes una evolución adiabática adecuada. En cambio, debe escribir su estado inicial como una superposición de los nuevos estados propios, y estos comienzan a evolucionar con el tiempo, pero nunca aumenta la superposición de su estado con el estado objetivo (el estado fundamental).

— DaftWullie
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Solo me pregunto si tu primera afirmación es cierta. Tome la matriz de identidad, por ejemplo, conmuta todos los hamiltonianos. Pero seguramente no hay razón para que la matriz de identidad tenga los mismos vectores propios que un Hamiltoniano arbitrario.

— Turbotanten

Puede descomponer los muchos identidad en cualquier forma, incluyendo la base del hamiltoniano. Pero el punto es que es altamente degenerado, entonces estás hablando de mi segundo párrafo.

— DaftWullie

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En el contexto de los optimizadores Ising que tienen un Hamiltoniano inicial que conmuta con el problema, Hamiltoniano significa que es esencialmente producto de operadores , lo que significa que sus estados propios son cadenas de bits clásicas. Por lo tanto, el estado base al principio ( = 0) también será clásico, no una superposición de todas las cadenas de bits posibles. $\sigma^Z$ $t$

Además, incluso yendo más allá de los límites estrictos de AQC (p. Ej., Recocido cuántico de sistema abierto, QAOA, etc.) si el Hamiltoniano de conducción conmuta, no puede inducir transiciones entre los estados propios del problema Hamiltoniano, sino que solo cambia la fase de las amplitudes en la función de onda ; y desea un controlador que sea capaz de inducir giros para explorar el espacio de búsqueda.

— Davide Venturelli
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$H_i$ $H_f$

$H_i= \begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}$

$H_p= \begin{pmatrix}-1 & 0\\ 0 & -0.1 \end{pmatrix}$

$H_i$ $|1\rangle$ $H_f$ $|0\rangle$

$\epsilon$
$\tau\ge \max_t\left(\frac{||H_i - H_f||^2}{\epsilon E_{\rm{gap}}(t)^3}\right)$

Esto se da y explica en la ecuación. 2 de Tanburn et al. (2015) .

$\epsilon = 0.1$
$||H_i - H_f||^2 = 0.1$
$\frac{||H_i - H_f||^2}{\epsilon}=1$ $\epsilon$
$\tau \ge \max_t\left(\frac{1}{E_{\rm{gap}}(t)^3}\right)$

$\max_t$
$t=20\tau/29$

$H=\frac{9}{29}H_i + \frac{20}{29}H_p$

$H=\frac{9}{29}\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix} + \frac{20}{29}\begin{pmatrix}-1 & 0\\ 0 & -0.1 \end{pmatrix}$

$H=\begin{pmatrix}\frac{9}{29} & 0\\ 0 & -\frac{9}{29} \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-\frac{20}{29} & 0\\ 0 & -\frac{2}{29} \end{pmatrix}$

$H=\begin{pmatrix}\frac{-11}{29} & 0\\ 0 & -\frac{11}{29} \end{pmatrix}$

$t=\frac{20}{29}\tau$ $E_{\rm{gap}}=0$ $\tau$ $\infty$

Entonces, el teorema adiabático todavía se aplica, pero cuando establece que el hamiltoniano necesita cambiar "lo suficientemente lento", resulta que necesita cambiar "infinitamente lento", lo que significa que es probable que nunca obtenga la respuesta usando AQC.

— usuario1271772
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τ ≫ \frac{max_{0 \leq s \leq 1} | ⟨ ψ_{1} (s) | \frac{d \hat{H} (s)}{d s} | ψ_{0} (s) ⟩ |}{min_{0 \leq s \leq 1} Δ^{2} (s)}; s \equiv \frac{t}{τ}

$\tau \gg \frac{\underset{0\leq s \leq 1}{\text{max}} \left|\langle\psi_1(s)| \dfrac{d \hat{\mathscr{H}}(s)} {d s}|\psi_0(s)\rangle\right|} {\underset{0\leq s \leq 1}{\text{min}}\Delta^2(s)}; \qquad s\equiv\frac{t}{\tau}$

Δ^{2} (s) = (E_{1} (s) - E_{0} (s))^{2}

$\Delta^2(s) = (E_1(s)-E_0(s))^2$

@Turbotanten: Gracias por la recompensa. Mi prueba funciona si usamos 1 / gap ^ 2 o 1 / gap ^ 3. En ambos casos, gap = 0 significa tiempo de ejecución = infinito. En su expresión, podemos tener "max_s" en el exterior, luego no necesitamos "min_s" en el denominador. También la referencia 2 del artículo de Tanburn con el que me vinculé da la fórmula gap ^ 3, que es un límite ligeramente más ajustado que la fórmula gap ^ 2. Todavía es popular usar la brecha (un poco más floja) ^ 2, principalmente porque algunas personas no han visto la literatura reciente sobre brecha ^ 3.

— user1271772