¿Uso del término "dimensión" en esta descripción del algoritmo de Simon?

En Kaye, Laflamme y Mosca (2007) pg106 escriben lo siguiente (en el contexto del algoritmo de Simon):

... donde $S=\{\mathbf{0},\mathbf{s}\}$ es un $2$ espacio vectorial dimensional atravesado por . $\mathbf{s}$

Este no es el único lugar donde he visto este espacio vectorial denominado "bidimensional". ¿Pero seguramente el hecho de que solo está abarcado por un vector, , significa (por definición) que solo es "unidimensional"? $\mathbf{s}$

¿Me estoy perdiendo algo aquí o el uso del término "dimensión" es diferente en esta área?

Más contexto

Como se mencionó anteriormente, el contexto es el algoritmo de Simon. Es decir, existe un oráculo tal que si y solo si donde $f:\{0,1\}^n\rightarrow \{0,1\}^n$ $f(x)=f(y)$ $x=y\oplus \mathbf{s}$ y es además en (es decir, bit a bit). El objetivo del algoritmo es encontrar . $\mathbf{s}\in \{0,1\}^n$ $\oplus$ $\Bbb{Z}_2^n$ $\mathbf{s}$

Después de aplicar un circuito relevante, la salida es una distribución uniforme de tal que . La afirmación que he citado anteriormente se refiere al hecho de que dado que y son la solución a este problema, solo necesita vectores linealmente independientes para encontrar . $\mathbf{z}\in \{0,1\}^n$ $\mathbf{z}\cdot\mathbf{s}=z_1s_1+z_2s_2\cdots+ z_ns_n=0$ $\mathbf{0}$ $\mathbf{s}$ $n-1$ $\mathbf{z}$ $\mathbf{s}$

Editar

El término también se usa en el mismo contexto al final de la página 4 de este pdf ( versión de Wayback Machine ).

terminology simons-algorithm

— Espaguetización cuántica
fuente

¿Puedes agregar algún contexto para el uso de esa oración? ¿Qué es

, qué es

¿Estás hablando de espacios de vectores reales / complejos, etc. En general, la dimensión del espacio en el que vive un estado es simplemente el número de modos diferentes admitidos por el sistema

s

$\boldsymbol s$

0

$\boldsymbol 0$

— glS

@glS Ver mi edición.

— Spaghettification cuántica

aún así, ¿puedes agregar la oración completa de la que se extrae ese extracto?

— glS

@glS Ver mi edición. He publicado un enlace a un pdf que dice lo mismo en el mismo contexto. La razón por la que no he agregado la oración completa es porque no agrega nada, simplemente define algo que no es relevante para mi pregunta.

— Spaghettification cuántica

Respuestas:

Para representar un estado ' ' como vector en un espacio de Hilbert, el vector ' ' debe ser de hecho distinto de cero. Por lo tanto, la etiqueta ' ' es solo una etiqueta para algún vector designado (de la norma 1) en nuestra base computacional. Esto es obviamente un abuso de notación, pero es bastante común. La notación más habitual (y menos confusa) sería . Esta notación incluso se usa en la página wiki sobre qubits . $\mathbf 0$ $\mathbf 0$ $\mathbf 0$ $\left|0\right>$

Construyendo esto desde el suelo: tenemos espacios vectoriales bidimensionales , y designamos elementos base y en estos espacios vectoriales. Ambos elementos tienen la norma 1. Luego formamos el espacio vectorial de dimensiones . Podemos designar una base computacional con $n$ $V_i$ $\left| 0_i \right>$ $\left| 1_i \right>$ $2^n$ $V = \bigotimes_{i=1}^n V_i$ $\left| b_1 b_2 \ldots b_n \right>$ para . Dentro de hay dos vectores de interés: y , con los bits de . El espacio vectorial $b_1,\ldots,b_n \in \{0,1\}$ $V$ $V$ $\mathbf 0 = \left|00\ldots0\right>$ $\mathbf s = \left| s_1 s_2 \ldots s_n \right>$ $s_1, \ldots, s_n$ $s$ $S = \mathbf{\text{span}} \{\mathbf 0, \mathbf s\} \subset V$ es trivialmente bidimensional.

— JSQuareD
fuente

La dimensión de un espacio vectorial es el número de vectores que constituyen su base.
Para un qubit, hay dos vectores básicos: [1 0] y [0 1]. Por lo tanto, la dimensión del espacio vectorial es 2.

Si lees la pregunta original, el problema no tiene que ver con qubits, sino con la forma en que Kaye, Laflamme y Mosca están usando la notación. (Dicho esto, el título original de la pregunta fue quizás un poco confuso).

— Niel de Beaudrap