¿Cuál es la diferencia entre un sistema qudit con d = 4 y un sistema de dos qubit?

Entiendo que un qudit es un sistema cuántico estado. Si , ¿es exactamente lo mismo que un sistema de dos qubits, que también presenta estados cuánticos? El espacio de Hilbert es el mismo, ¿verdad? ¿Hay alguna diferencia teórica o práctica?$d$$d=4$$4$

Para qubits, generalmente basamos todos nuestros operadores en las matrices de Pauli. Nuestro conjunto básico de compuertas consiste en las matrices Pauli, las compuertas Clifford como y que se asignan entre matrices Pauli, operaciones controladas como CNOT que implementan un Pauli en un qubit dependiendo del estado propio de Pauli de otro, etc.$H$$S$

Para cualquier sistema cuántico dimensional más grande , tenemos que encontrar el conjunto básico de operadores que desempeñarán el mismo papel.$d$

Un enfoque es generalizar las matrices de Pauli. Elegimos un grupo cuyo orden es , y definimos operadores basados ​​en ese grupo. Este es mi texto de referencia sobre cómo hacer esto, aunque en realidad se centra más en generalizar los códigos estabilizadores.$d$

También podríamos buscar inspiración en los operadores de spin. Las matrices de Pauli describen un sistema spin . Entonces, para sistemas de dimensiones superiores, podríamos mirar a los operadores para obtener un mayor giro. Sin embargo, no tienen el mismo tipo de propiedades agradables. Entonces, este no parece ser un enfoque popular.$1/2$

De cualquier manera, el espacio de Hilbert es el mismo y el control de calidad universal basado en ellos es lo mismo. La única diferencia es nuestro conjunto básico de puertas. Entonces, el número de compuertas requerido para una tarea dada puede tener una diferencia en términos de constantes y coeficientes. Y las matemáticas podrían ser mejores para uno que para el otro. Pero la complejidad será la misma.

Sí, el espacio de Hilbert es el mismo, pero debe elegir el isomorfismo . Pero la configuración diferente significará que algunas unidades unitarias que serán fáciles de implementar en una configuración serán difíciles en la otra. Por ejemplo, como 2 qubits compuertas, algo como será fácil. Pero si escribe eso como un 4 por 4 unitario a través de ese isomorfismo lugar, eso podría no ser tan fácil de implementar. Debe decir tanto el espacio de Hilbert como las operaciones sencillas en las que desea escribir su programa.σ z ⊗ 1 $\phi : \; \; (\mathbb{C}^2)^{\otimes 2} \simeq \mathbb{C}^4$$\sigma_z \otimes 1$$\phi$

Una diferencia fundamental entre los dos tipos de sistemas es que un sistema de dos qubits puede estar en realidad enredado. Por otro lado, un único sistema d = 4 dimensional no posee entrelazamiento, ya que el enredo siempre se define con respecto a más de una parte. En consecuencia, a los fines de los protocolos cuánticos que explotan el enredo como un recurso, un sistema de dos qubits y un solo sistema cuántico de 4 dimensiones son muy diferentes.

También hay una diferencia si considera experimentos o implementaciones. Para hacer un qubit físico, necesito usar un sistema cuántico de dos niveles. Qudits que requieren un sistema cuántico más complicado, por ejemplo, con cuatro niveles para ad = 4 qudit. La justificación de ingeniería para usar el sistema más complicado sería que usted requiere menos sistemas de cuatro niveles.

La única diferencia entre un " par de qubits " y un solo " qudit de cuatro dimensiones " es que cuando dice que tiene " dos qubits ", está implícitamente haciendo algunas suposiciones sobre el tipo de operaciones que puede realizar en él.

En particular, solo tiene sentido hablar de dos qubits si pueden tratarse como dos sistemas diferentes o, en otras palabras, si es posible actuar localmente sobre ellos. Del mismo modo, los tipos de operaciones que uno puede asumir que puede realizar en dos qubits son diferentes a los de los qudits.

Desde un punto de vista práctico, la diferencia es que uno tiende a considerar diferentes operaciones como "fácilmente disponibles" cuando se habla de conjuntos de qubits en lugar de (conjuntos de) qudits.