Límites explícitos de velocidad de Lieb-Robinson

Los límites de Lieb-Robinson describen cómo se propagan los efectos a través de un sistema debido a un hamiltoniano local. A menudo se describen en la forma

$$\left|[A,B(t)]\right|\leq Ce^{vt-l},$$ donde $A$ y $B$ son los operadores de que están separadas por una distancia $l$ en un enrejado donde el hamiltoniano tiene (por ejemplo, de vecinos más cercanos) interacciones locales en que enrejado, delimitadas por un poco de fuerza $J$ . Las pruebas del límite de Lieb Robinson suelen mostrar la existencia de una velocidad $v$(Eso depende de $J$ ). Esto a menudo es realmente útil para las propiedades limitantes en estos sistemas. Por ejemplo, hubo algunos resultados realmente buenos aquí con respecto a cuánto tiempo se tarda en generar un estado GHZ utilizando un Hamiltoniano vecino más cercano.

El problema que he tenido es que las pruebas son lo suficientemente genéricas como para que sea difícil obtener un valor ajustado de cuál es realmente la velocidad de un sistema determinado.

Para ser específicos, imagine una cadena unidimensional de qubits acoplada por un Hamiltoniano

$$H=\sum_{n=1}^N\frac{B_n}{2}Z_n+\sum_{n=1}^{N-1}\frac{J_n}{2}(X_nX_{n+1}+Y_nY_{n+1}), \tag{1}$$ donde$J_n\leq J$para todo$n$. Aquí$X_n$,$Y_n$y$Z_n$representan un operador Pauli que se aplica a un determinado qubit$n$, y$\mathbb{I}$cualquier otro lugar. ¿Puede dar un límite superior bueno (es decir, lo más ajustado posible) para la velocidad$v$Lieb-Robinsonpara el sistema en la ecuación? (1)?

Esta pregunta puede formularse bajo dos supuestos diferentes:

• El $J_n$ y $B_n$ están todos fijados en el tiempo
• El $J_n$ y $B_n$ se les permite variar en el tiempo.

La primera es una suposición más fuerte que puede facilitar las pruebas, mientras que la segunda generalmente se incluye en la declaración de límites de Lieb-Robinson.

---

Motivación

El cálculo cuántico, y más en general la información cuántica, se reduce a hacer estados cuánticos interesantes. A través de trabajos como este , vemos que la información tarda una cierta cantidad de tiempo en propagarse de un lugar a otro en un sistema cuántico en evolución debido a un hamiltoniano como en la ecuación. (1), y que los estados cuánticos, como los estados GHZ o los estados con un orden topológico, tardan cierto tiempo en producirse. Lo que el resultado muestra actualmente es una relación de escala, por ejemplo, el tiempo requerido es $\Omega(N)$ .

Por lo tanto, digamos que llegar a un esquema que hace la transferencia de información, o produce un estado etc. GHZ de manera que las escalas de forma lineal en $N$ . ¿Qué tan bueno es ese esquema en realidad? Si tengo una velocidad explícita, puedo ver cuán estrechamente coincide el coeficiente de escala en mi esquema en comparación con el límite inferior.

Si creo que algún día lo que quiero ver es un protocolo implementado en el laboratorio, entonces me importa mucho optimizar estos coeficientes de escala, no solo la amplia funcionalidad de escala, porque cuanto más rápido pueda implementar un protocolo, menos posibilidades habrá. es para que venga el ruido y arruine todo.

---

Más información

$\newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right|}\newcommand{\ket}[1]{\left|#1\right>}\newcommand{\bk}[2]{\left<#1\middle|#2\right>}\newcommand{\bke}[3]{\left<#1\middle|#2\middle|#3\right>}\newcommand{\proj}[1]{\left|#1\right>\left<#1\right|}$Hay algunas características agradables de este hamiltoniano que supongo que hacen que el cálculo sea más fácil. En particular, el Hamiltoniano tiene una estructura de subespacio basada en el número de 1s en la base estándar (se dice que preserva la excitación) y, aún mejor, la transformación de Jordan-Wigner muestra que todas las propiedades de los subespacios de excitación superiores pueden derivarse del subespacio de 1 excitación. Esto significa esencialmente sólo tenemos que hacer las cuentas en un $N\times N$ matriz $h$ en lugar de la totalidad de $2^N\times 2^N$ matriz ⟩ ⟨ n | + N - 1 ∑ n = 1 J$H$ , donde

$$h=\sum_{n=1}^NB_n\proj{n}+\sum_{n=1}^{N-1}J_n(\ket{n}\bra{n+1}+\ket{n+1}\bra{n}).$$ Existe alguna evidencia de que la velocidad de Lieb-Robinson es$v=2J$ , comoaquíyaquí, pero todos usan una cadena acoplada de manera uniforme, que tiene una velocidad de grupo$2J$(y supongo que la velocidad del grupo está estrechamente relacionada con la velocidad de Lieb-Robinson). No prueba que todas las opciones posibles de fuerza de acoplamiento tengan una velocidad tan limitada.

Puedo agregar un poco más a la motivación. Considere la evolución temporal de una excitación única que comienza en un extremo de la cadena, $\ket{1}$ , y lo que su amplitud es para llegar al otro extremo de la cadena $\ket{N}$ , un corto tiempo $\delta t$ más tarde. Para primer orden en $\delta t$ , esto es

$$\bra{N}e^{-ih\delta t}\ket{1}=\frac{\delta t^{N-1}}{(N-1)!}\prod_{n=1}^{N-1}J_n+O(\delta t^{N}).$$ Se puede ver la funcionalidad exponencial que se puede esperar estar fuera del 'cono de luz' definida por un sistema Lieb-Robinson, pero lo más importante, si usted quiere maximizar esa amplitud, lo haces con todo el$J_n=J$ . Entonces, en tiempos cortos, el sistema de acoplamiento uniforme conduce a la transferencia más rápida. Tratando de empujar más a fondo, puede pedir, como un poco de dulce de azúcar, cuando pueden $$\frac{t^{N-1}}{(N-1)!}\prod_{n=1}^{N-1}J_n\sim 1$$ Tomar ellímite$N$grandey usar la fórmula de Stirling en el factorial conduce a $$\frac{etJ}{N-1}\sim 1,$$ lo que sugiere una velocidad máxima de aproximadamente$eJ$. ¡Cercano, pero apenas riguroso (ya que los términos de orden superior no son despreciables)!

$$\newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right|}\newcommand{\ket}[1]{\left|#1\right>}\newcommand{\bk}[2]{\left<#1\middle|#2\right>}\newcommand{\bke}[3]{\left<#1\middle|#2\middle|#3\right>}\newcommand{\proj}[1]{\left|#1\right>\left<#1\right|}$$

Permítanme responder primero a la pregunta general sobre cómo obtener una velocidad de Lieb-Robinson (LR) razonablemente ajustada cuando se enfrentan a un modelo de red genérico de interacción local, y luego volveré al modelo 1D XY en su pregunta, que es muy especial para ser exactamente solucionable.

---

Método general

El método para obtener el límite más ajustado hasta la fecha (para un modelo de interacción genérico de corto alcance) se introduce en Ref1 = arXiv: 1908.03997 . La idea básica es que la norma del conmutador de tiempo desigual $\|[A_X(t),B_Y(0)]\|$ entre operadores locales arbitrarios puede estar limitada por la solución a un conjunto de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden que viven en el Gráfico de conmutatividad del modelo. El gráfico de conmutatividad, como se introdujo en la Sección II A de Ref1, puede extraerse fácilmente del modelo hamiltoniano$\hat{H}$, Y está diseñado para reflejar las relaciones de conmutación entre los diferentes operadores locales que se presentan en H . En sistemas invariantes de traducción, este conjunto de ecuaciones diferenciales se puede resolver fácilmente mediante una transformada de Fourier, y se puede calcular un límite superior de la velocidad LR a partir de la frecuencia propia más grande ω max ( i → κ ) utilizando la ecuación (31) de Ref1 . A continuación, aplicaré este método al modelo 1D XY como ejemplo pedagógico. Para simplificar, me centraré en el caso independiente del tiempo y la traducción invariable | B n | = B > 0 , | J n$\hat{H}$$\omega_{\max}(i\vec{\kappa})$$|B_n|=B>0$$|J_n|=J>0$ (el límite resultante no depende de signos de$B_n,J_n$ ). Para el caso de traducción no invariable y dependiente del tiempo, puede resolver la ecuación diferencial numéricamente (que es una tarea computacional fácil para sistemas de miles de sitios), o puede usar un límite superior general$|J_n(t)|\leq J,~|B_n(t)|\leq B$ y proceda a utilizar el siguiente método (pero esto compromete ligeramente la estanqueidad en comparación con el método numérico).

1. Primero dibujamos el gráfico de conmutatividad, como se muestra a continuación. Cada operador en el Hamiltoniano ~ ( $X_{n}X_{n+1}$ , $Y_nY_{n+1}$ ,$Z_n$ ) está representado por un vértice, y vinculamos dos vértices si y solo si los operadores correspondientes no conmutan (o, en el caso actual, anti-viaje).

2. Luego escriba las ecuaciones diferenciales Eq. (10) de Ref1 :

   $$\begin{eqnarray} \dot{\bar{\gamma}}_{\alpha,n}&=&J[\bar{\gamma}_{\alpha,n-1}(t)+\bar{\gamma}_{\alpha,n+1}(t)]+B[\bar{\gamma}_{3,n}(t)+\bar{\gamma}_{3,n+1}(t)],~~\alpha=1,2,\nonumber\\ \dot{\bar{\gamma}}_{3,n}&=&J\sum_{\alpha=1,2}[\bar{\gamma}_{\alpha,n-1}(t)+\bar{\gamma}_{\alpha,n}(t)]. \end{eqnarray}$$

3. Fourier transformando la ecuación anterior, tenemos

   $$\begin{equation} \frac{d}{dt}\begin{pmatrix} \bar{\gamma}_{1,k}\\ \bar{\gamma}_{2,k}\\ \bar{\gamma}_{3,k} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2J\cos k & 0 & B(1+e^{ik})\\ 0 & 2J\cos k & B(1+e^{ik})\\ J(1+e^{-ik}) & J(1+e^{-ik}) & 0\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \bar{\gamma}_{1,k}\\ \bar{\gamma}_{2,k}\\ \bar{\gamma}_{3,k} \end{pmatrix}. \end{equation}$$ Las frecuencias propias son$2J\cos k,J\cos k\pm \sqrt{(J\cos k)^2+2BJ(1+\cos k)}$ . La velocidad LR viene dada por la ecuación (31) deRef1: $$v_{\text{LR}}\leq \min_{\kappa>0}\frac{\omega_{\max}(i\kappa)}{\kappa} =\mathcal{Z}_{\frac{B}{2J}}J,$$ donde $$\begin{equation}\label{eq:vLRFHWy} \mathcal{Z}_y\equiv \min_{\kappa>0}\frac{\cosh\kappa+\sqrt{\cosh^2\kappa+4y(1+\cosh\kappa)}}{\kappa}. \end{equation}$$

$B/J\to \infty$$v_{\text{LR}}\leq 4\mathcal{X}_0 J$$\mathcal{X}_y$$x\mathrm{arcsinh}(x)=\sqrt{x^2+1}+y$.

---

Límites de velocidad para algunos modelos clásicos.

$v_{\text{LR}}$$F(J_x,J_y,J_z)$$x^3-(J_xJ_y+J_xJ_z+J_yJ_z)x-2J_xJ_yJ_z=0.$

$$\begin{array}{|c|l|} \hline \text{Model} & v_{\text{LR}} \\ \hline d\text{-dimensional TFIM} & 2\mathcal{X}_0\sqrt{dJh}= 3.02\sqrt{dJh} \\ \hat{H}= J\sum_{\langle mn\rangle} X_m X_{n}+h\sum_n Z_n & 4\mathcal{X}_{\frac{d-1}{d}}dJ \leq 8.93 d J \\ & 4\mathcal{X}_0dh = 6.04 d h \\ \hline d\text{-dimensional Fermi-Hubbard} & 2 \mathcal{X}_{\frac{3U}{4dJ}}dJ \\ \hat{H}=J\sum_{\langle mn\rangle, s=\uparrow,\downarrow} (a^\dagger_{m,s}a_{n,s}+\mathrm{H.c.}) & 8\mathcal{X}_{\frac{d-1}{d}}dJ\leq 17.9 d J \\ ~~+U \sum_n a^\dagger_{n\uparrow}a_{n\uparrow}a^\dagger_{n\downarrow}a_{n\downarrow} & \mathcal{Z}_{U/J}J~(d=1) \\ \hline \text{1D Heisenberg XYZ} & 4\mathcal{X}_0 F(J_x,J_y,J_z) \\ \hat{H}=\sum_n (J_x X_n X_{n+1}+J_y Y_n Y_{n+1}+J_z Z_n Z_{n+1}) & 34.6 \max\{J_x,J_y\}\\ \hline \end{array}$$

$J=h$$v_{\text{LR}}=2J$$2\mathcal{X}_0J\approx 3.02 J$$U=0$$J_x=J_y,J_z=0$$\mathcal{X}_0\approx 1.50888$. [En realidad, en estos puntos especiales, los dos últimos son equivalentes a cadenas desacopladas de TFIM, como se puede juzgar directamente a partir de su gráfico de conmutatividad.]

---

Más estricto para 1D XY mediante mapeo para fermiones libres

$$\hat{H}=\sum_nB_n(a_n^\dagger a_n-1/2)+\sum_n J_n(a_n^\dagger a_{n+1}+\mathrm{H.c.}).$$ $B_n(t),J_n(t)$ necesita resolver el problema del fermión libre numéricamente, pero permítame mencionar dos casos especiales que son analíticamente manejables.

1. $B_n(t)=B,J_n(t)=J$

   $$\begin{eqnarray}\label{eq:aisigmat} a_{n}(t)&=&\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\pi}^\pi \tilde{a}_{k}e^{-i2Jt\cos k }e^{ikx}d k\nonumber\\ &=&\sum_{m}\mathcal{J}_{|n-m|}(2Jt) a_{m}(0), \end{eqnarray}$$ $\mathcal{J}_{|n-m|}(2Jt)$$|n-m|$$\color{red}{v^{\text{XY}}_{\text{LR}}=2J}$

2. $B_n,J_n$$v_{\text{LR}}=0$

   $$[A_X(t),B_Y(0)]\leq \mathrm{const.}~ t ~e^{-d_{XY}/\xi},$$ $d_{XY}=\xi \ln t$