¿Por qué usamos el conjunto de puerta estándar que hacemos?

El conjunto de compuerta utilizado habitualmente para el cálculo cuántico se compone de los qubits únicos Cliffords (Paulis, H y S) y el NOT controlado y / o el Z controlado.

Para ir más allá de Clifford, nos gusta tener rotaciones completas de un solo qubit. Pero si estamos siendo mínimos, solo vamos por T (la cuarta raíz de Z).

Esta forma particular del conjunto de la puerta aparece todo. Como el Quantum Experiment p de IBM, por ejemplo.

¿Por qué estas puertas, exactamente? Por ejemplo, H hace el trabajo de mapeo entre X y Z. S también hace el trabajo de mapeo entre Y y X, pero también se introduce un factor de . ¿Por qué no usamos un unitario Hadamard lugar de S? ¿O por qué no usamos la raíz cuadrada de Y en lugar de H? Sería equivalente matemáticamente, por supuesto, pero parecería un poco más consistente como una convención.$-1$$(X+Y)/\sqrt{2}$

¿Y por qué nuestra puerta no Clifford es la cuarta raíz de Z? ¿Por qué no la cuarta raíz de X o Y?

¿Qué convenciones históricas llevaron a esta elección particular de conjunto de puertas?

Cualquiera que haya escrito un artículo y se haya preguntado si podría mejorar la notación, o presentar el análisis de manera un poco diferente para hacerlo más elegante, está familiarizado con el hecho de que las elecciones de notación, descripción y análisis pueden ser un accidente. sin motivaciones profundas. No tiene nada de malo, simplemente no tiene una justificación sólida para ser una forma particular. En grandes comunidades de personas más preocupadas (posiblemente con razón) por hacer las cosas en lugar de presentar la imagen más clara posible, esto va a suceder todo el tiempo.

Creo que la respuesta final a esta pregunta será a lo largo de estas líneas: es principalmente un accidente histórico. Dudo que haya razones profundamente consideradas para que los conjuntos de puertas sean como son, así como tampoco hay razones profundamente consideradas por las cuales hablamos sobre el estado de Bell algo más a menudo que el estado .$\lvert \Phi^+ \rangle = ( \lvert 00 \rangle + \lvert 11 \rangle ) \big/ \sqrt 2$$\lvert \Psi^- \rangle = ( \lvert 01 \rangle - \lvert 10 \rangle ) \big/ \sqrt 2$

Pero aún podemos considerar cómo se produjo el accidente y si hay algo que podamos aprender sobre las formas sistemáticas de pensamiento que podrían habernos llevado allí. Espero que las razones provengan en última instancia de las prioridades culturales de los informáticos, con sesgos profundos y superficiales que juegan un papel en la forma en que describimos las cosas.

Una digresión sobre los estados de Bell

Si tiene conmigo, me gustaría detenerme en el ejemplo de los dos estados de Bell y como un ejemplo indicativo de cómo una convención finalmente arbitraria puede surgió por accidente, en parte debido a sesgos que no tienen raíces matemáticas profundas.| Ψ -$\lvert \Phi^+ \rangle$$\lvert \Psi^- \rangle$

Una razón obvia para preferir sobre | Ψ - ⟩ es que el primero es más obviamente simétrica. A medida que agregamos los dos componentes para | Φ + ⟩ , no hay una clara necesidad de defender por qué lo escribimos como lo hacemos. Por el contrario, podríamos definir con la misma facilidad | Ψ - ⟩ = ( | 10 ⟩ - | 01 ⟩ ) /$\lvert \Phi^+ \rangle$$\lvert \Psi^- \rangle$$\lvert \Phi^+ \rangle$ con el signo opuesto, que no está mejor o peor motivado que la elección| Ψ-⟩=(|01⟩-|10⟩) /$\lvert \Psi^- \rangle = (\lvert 10 \rangle - \lvert 01 \rangle) \big/ \sqrt 2$ . Esto hace que parezca que estamos haciendo elecciones más arbitrarias al definir| Ψ-⟩.$\lvert \Psi^- \rangle = (\lvert 01 \rangle - \lvert 10 \rangle) \big/ \sqrt 2$$\lvert \Psi^- \rangle$

Incluso la elección de la base es algo flexible en el caso de : podemos escribir | Φ + ⟩ : = ( | + + ⟩ + | - - ⟩ ) /$\lvert \Phi^+ \rangle$ y obtener el mismo estado. Pero las cosas comienzan a empeorar un poco si comienzas a considerar los estados propios| ±i⟩:=(|0⟩±i|1⟩) /$\lvert \Phi^+ \rangle := (\lvert ++ \rangle + \lvert -- \rangle)\big/\sqrt 2$ deloperadorY: tenemos| Φ+⟩=(|+i⟩|-i⟩+|-i⟩|+i⟩) /$\lvert \pm i \rangle := (\lvert 0 \rangle \pm i \lvert 1 \rangle)\big/\sqrt 2$$Y$ . Esto todavía parece bastante simétrico, pero queda claro que nuestra elección de base juega un papel no trivial en cómo definimos| Φ+⟩.$\lvert \Phi^+ \rangle = (\lvert +i \rangle\lvert -i \rangle + \lvert -i \rangle \lvert +i \rangle)\big/\sqrt 2$$\lvert \Phi^+ \rangle$

La broma está sobre nosotros. La razón por la cual parece "más simétrico" que | Ψ - ⟩ es porque | Ψ - ⟩ es, literalmente, el estado de dos qubits menos simétrica, y esto hace que sea más motivado que | Φ + ⟩ en lugar de estar menos motivado. El | Ψ - ⟩ estado es el único antisimétrica Estado: el único estado que es el - $\lvert \Phi^+ \rangle$$\lvert \Psi^- \rangle$$\lvert \Psi^- \rangle$$\lvert \Phi^+\rangle$$\lvert \Psi^- \rangle$$-1$ vector propio de la operación SWAP, y por lo tanto implicado en la prueba SWAP controlada para distinguir el estado qubit, entre otras cosas.

• Podemos describir hasta una fase global como ( | alfa ⟩ | alfa ⊥ ⟩ - | alfa ⊥ ⟩ | alfa ⟩ ) /$\lvert \Psi^- \rangle$ para literalmente cualquier estado de un solo qubit| alfa⟩y el estado ortogonal| alfa⊥⟩, lo que significa que las propiedades que lo hacen interesante son independientes de la elección de la base.$(\lvert \alpha \rangle \lvert \alpha^\perp \rangle - \lvert \alpha^\perp \rangle \lvert \alpha \rangle)\big/\sqrt 2$$\lvert \alpha \rangle$$\lvert \alpha^\perp \rangle$
• Incluso la fase global que usas para escribir el estado no afecta a la definición de | Ψ - ⟩ hasta más de una fase global. Lo mismo no es cierto de | Φ + ⟩ : como ejercicio para el lector, si | 1 ′ ⟩ = i | 1 ⟩ , entonces ¿cuál es ( | 00 ⟩ + | 1 ' 1 ' ⟩ ) /$\lvert \alpha^\perp \rangle$$\lvert \Psi^-\rangle$$\vert \Phi^+\rangle$$\lvert 1' \rangle = i \lvert 1 \rangle$ ?$(\lvert 00 \rangle + \lvert 1' 1' \rangle)\big/\sqrt 2$

Mientras tanto es solo un estado entrelazado al máximo en el subespacio simétrico tridimensional en dos qubits (el subespacio de los vectores propios + 1 de la operación SWAP) y, por lo tanto, no se distingue en principio más que, digamos, | Φ - ⟩ alfa | 00 ⟩ - | 11 ⟩ .$\lvert \Phi^+ \rangle$$+1$$\lvert \Phi^- \rangle \propto \lvert 00 \rangle - \lvert 11 \rangle$

Después de aprender una o dos cosas sobre los estados de Bell, queda claro que nuestro interés en en particular está motivado solo por una simetría superficial de notación, y no por propiedades matemáticas verdaderamente significativas. Ciertamente es una elección más arbitraria que | Ψ - ⟩ . La única motivación obvia para preferir | Φ + ⟩ son razones sociológicas que tienen que ver con evitar los signos menos y las unidades imaginarias. Y la única razón justificable en la que puedo pensar es cultural: específicamente, para acomodar mejor a los estudiantes o informáticos.$\lvert \Phi^+ \rangle$$\lvert \Psi^- \rangle$$\lvert \Phi^+ \rangle$

¿Quién ordenó CNOT?

Pregunta por qué no hablamos más sobre . Para mí, la pregunta más interesante que también haces: hablamos mucho sobreH=(X+Z) /$(X + Y)\big/\sqrt 2$ , cuando$H = (X + Z)\big/\sqrt 2$ hace muchas de las mismas cosas? He visto charlas impartidas por físicos ópticos experimentales a estudiantes, que incluso describen la realización de$\sqrt Y$ en un estado base estándarcomorealizar una puerta Hadamard: pero fue un$\sqrt Y$ puerta que en realidad era más natural para él. El operador$\sqrt Y$ también está más directamente relacionado con los operadores de Pauli, obviamente. Un físico serio podría considerar curioso que nos detenemos tanto en el Hadamard.$\sqrt Y$

Pero hay un elefante más grande en la habitación: cuando hablamos de CNOT, ¿por qué estamos hablando de CNOT, en lugar de otra puerta enredada que es simétrica en sus factores tensoriales, o mejor aún U = exp ( - i π ( Z ⊗ Z ) / 2 $\mathrm{CZ} = \mathrm{diag}(+1,+1,+1,-1)$$U = \exp(-i \pi (Z \otimes Z)/2)$¿Cuál está más estrechamente relacionado con la dinámica natural de muchos sistemas físicos? Sin mencionar un unitario como u otras variantes similares.$U' = \exp(-i \pi (X \otimes X)/2)$

La razón, por supuesto, es que estamos explícitamente interesados ​​en la computación más que en la física per se. Nos preocupa CNOT porque cómo transforma la base estándar (una base que se prefiere no por razones matemáticas o físicas, sino por razones centradas en el ser humano ). La puerta anterior es un poco misteriosa desde el punto de un informático: no es obvio en la superficie de ser lo que es para , y peor aún, que está lleno de coeficientes complejos desordenada. Y la puerta U ' es aún peor. Por el contrario, CNOT es un operador de permutación, lleno de 1s y 0s, que permuta la base estándar de una manera que obviamente es relevante para el informático.$U$$U'$

Aunque me estoy burlando un poco aquí, al final esto es para lo que estamos estudiando computación cuántica . El físico puede tener una visión más profunda de la ecología de las operaciones elementales, pero al final del día lo que le importa al informático es cómo las cosas primitivas pueden componerse en procedimientos comprensibles que involucren datos clásicos. Y eso significa no preocuparse demasiado por la simetría en los niveles lógicos inferiores, siempre que puedan obtener lo que quieren de esos niveles inferiores.

Hablamos de CNOT porque es la puerta en la que queremos pasar el tiempo pensando. Desde una perspectiva física, las puertas como y U ' anteriores son, en muchos casos, las operaciones en las que pensaríamos para realizar CNOT, pero CNOT es lo que nos importa.$U$$U'$

Motivos profundos, y no tan profundos, para preferir la puerta Hadamard

Espero que las prioridades de los informáticos motiven muchas de nuestras convenciones, como por qué hablamos de , en lugar de$(X + Z)\big/\sqrt 2$ .$\sqrt Y \propto (\mathbb 1 - i Y)\big/\sqrt 2$

La operación Hadamard ya da un poco de miedo a los informáticos que aún no conocen la teoría de la información cuántica. (La forma en que se usa suena como no determinismo, ¡e incluso usa números irracionales!) Pero una vez que un informático supera la repulsión inicial, la puerta de Hadamard tiene propiedades que pueden gustarles: al menos solo implica coeficientes reales, es autoinverso e incluso puede describir la base propia de con solo coeficientes reales.$H$

$\lvert 0 \rangle, \lvert 1 \rangle$$\lvert + \rangle, \lvert - \rangle$$X$$Y$$\sqrt Y$

• $H$$\lvert + \rangle, \lvert - \rangle$
• $H$$2$

$\lvert + \rangle, \lvert - \rangle$$\lvert +i \rangle, \lvert -i \rangle$$2$, para encajar con la noción de alternar, esto parece indicar una preferencia particular por considerar las cosas mediante 'volteretas' en lugar de cambios de base reversibles. Estas prioridades huelen a los intereses de la informática.

$\lvert \Phi^+ \rangle$$\lvert \Psi^- \rangle$$H$$\sqrt Y$$(X + Y)\big/\sqrt 2$

Argumento diagonal

Si eres un informático, una vez que tienes Hadamard y CNOT, todo lo que queda es ordenar esas molestas fases complejas como una ocurrencia tardía. Estas fases son extremadamente importantes, por supuesto. Pero solo la forma en que hablamos sobre las fases relativas revela una incomodidad con la idea. Incluso describir la base estándar como la base 'bit', para almacenar información, pone un fuerte énfasis en que, sea cual sea la 'fase', no es la forma habitual en que consideraría almacenar información. Las fases de todo tipo son algo que debe abordarse después del negocio "real" de tratar con magnitudes de amplitudes; después de confrontar el hecho de que uno puede almacenar información en más de una base. Apenas podemos hablar de fases relativas, incluso puramente imaginarias, si podemos evitarlo.

$T \propto \sqrt[4]Z$$X$$Y$$\sqrt[4]X$$\sqrt[4]Y$

Y no es un momento demasiado pronto, porque a los científicos informáticos no les importa exactamente cuáles son las operaciones primitivas que se utilizan tan pronto como puedan justificar pasar a algo de nivel superior.

Resumen

No creo que sea probable que haya una razón motivada físicamente muy interesante por la que usemos un conjunto de puertas en particular. Pero ciertamente es posible explorar las razones psicológicamente motivadas por las que lo hacemos. Lo anterior es una especulación en esta dirección, informada por una larga experiencia.