¿Qué es el enredo cuántico y qué papel juega en la corrección de errores cuánticos?

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Quiero entender qué es el enredo cuántico y qué papel juega en la corrección de errores cuánticos.

NOTA : Según las sugerencias de @JamesWootton y @NielDeBeaudrap, he hecho una pregunta por separado para la analogía clásica aquí .

entanglement error-correction

— Chinni
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Yo diría que esto es demasiado amplio como se le preguntó. Quizás algo más como "por qué se necesita un enredo para la corrección de errores cuánticos", y tener una pregunta separada para la analogía clásica.

— James Wootton el

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Edité una pregunta y luego me di cuenta de que influiría en mi respuesta sobre la de las pirámides. Pero @Chinni, estoy de acuerdo con James en que debes concentrarte en una de las dos preguntas.

— Niel de Beaudrap 01 de

@JamesWootton y Niel, gracias por el consejo. Lo tendré en cuenta a partir de ahora. Pero dado que ya hay tres respuestas a esta pregunta, ¿estará bien si la divido en dos preguntas separadas?

— Chinni 01 de

@Chinni Creo que está bien. Tal vez debería notificar a los que responden en los comentarios debajo de su respuesta que también pueden 'dividir' su respuesta (si corresponde).

— Lagarto discreto

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Las correlaciones clásicas entre las variables ocurren cuando las variables parecen aleatorias, pero cuyos valores se encuentran sistemáticamente de acuerdo (o en desacuerdo) de alguna manera. Sin embargo, siempre habrá alguien (o algo) que 'sepa' exactamente qué están haciendo las variables en cualquier caso.

El enredo entre variables es el mismo, excepto en la última parte. La aleatoriedad es verdaderamente aleatoria. Los resultados aleatorios están completamente indecisos hasta el momento de la medición. Pero de alguna manera las variables, aunque pueden estar separadas por galaxias, todavía saben que están de acuerdo.

Entonces, ¿qué significa esto para la corrección de errores? Vamos a empezar por pensar en la corrección de errores para un simple bit .

Al almacenar un bit clásico, los tipos de errores de los que debe preocuparse son cosas como cambios de bit y borrados. Entonces, algo puede hacer que te 0conviertas en un 1viceversa. O tu parte podría perderse en alguna parte.

Para proteger la información, podemos asegurarnos de que nuestros bits lógicos (la información real que queremos almacenar) no se concentren solo en bits físicos únicos . En cambio, lo extendimos. Por lo tanto, podríamos usar una codificación de repetición simple, por ejemplo, donde copiamos nuestra información en muchos bits físicos. Esto nos permite obtener nuestra información, incluso si algunos de los bits físicos han fallado.

Este es el trabajo básico de la corrección de errores: difundimos nuestra información para dificultar que los errores la confundan.

Para los qubits, hay más tipos de errores de los que preocuparse. Por ejemplo, puede saber que los qubits pueden estar en estados de superposición y que las mediciones cambian estos. Las mediciones no deseadas son, por lo tanto, otra fuente de ruido, causada por el entorno con el que interactúa (y, en cierto sentido, "observa" nuestros qubits). Este tipo de ruido se conoce como decoherencia.

Entonces, ¿cómo afecta esto a las cosas? Supongamos que usamos la codificación de repetición con qubits. Por lo tanto, reemplazamos el en nuestro estado de qubit lógico deseado con , repetido en muchos qubits físicos, y reemplazamos el con . De nuevo, esto protege contra volteos y borrados de bits, pero hace que sea aún más fácil para mediciones perdidas. Ahora el entorno mide si tenemos o mirando cualquiera de los muchos qubits. ¡Esto hará que el efecto de decoherencia sea mucho más fuerte, que no es lo que queríamos en absoluto! $|0\rangle$ $|000...000\rangle$ $|1\rangle$ $|111...111\rangle$ $|0\rangle$ $|1\rangle$

Para solucionar esto, debemos dificultar que la decoherencia perturbe nuestra información lógica de qubit, tal como lo hicimos difícil para los cambios de bits y borrados. Para esto, tenemos que hacer que sea más difícil medir nuestro qubit lógico. No es demasiado difícil que no podamos hacerlo cuando queramos, por supuesto, pero es demasiado difícil para que el entorno lo haga fácilmente. Esto significa asegurarse de que medir un solo qubit físico no debe decirnos nada sobre el qubit lógico. De hecho, debemos hacerlo de modo que sea necesario medir un montón de qubits y comparar sus resultados para extraer cualquier información sobre el qubit. En cierto sentido, es una forma de encriptación. Necesitas suficientes piezas del rompecabezas para tener una idea de cuál es la imagen.

Podríamos intentar hacer esto de manera clásica. La información podría extenderse en correlaciones complejas entre muchos bits. Al observar suficientes bits y analizar las correlaciones, podemos extraer cierta información sobre el bit lógico.

Pero esta no sería la única forma de obtener esta información. Como mencioné antes, clásicamente siempre hay alguien o algo que ya lo sabe todo. No importa si es una persona o solo los patrones en el aire causados cuando se realizó el cifrado. De cualquier manera, la información existe fuera de nuestra codificación, y este es esencialmente un entorno que lo sabe todo. Su existencia misma significa que la decoherencia ha ocurrido en un grado irreparable.

Por eso necesitamos enredarnos. Con él, podemos ocultar la información usando correlaciones en los resultados aleatorios verdaderos e incognoscibles de las variables cuánticas.

— James Wootton
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El entrelazamiento es una parte natural de la información cuántica y el cálculo cuántico. Si no está presente, si intentas hacer las cosas de tal manera que no se enrede, no obtendrás ningún beneficio de la computación cuántica. Y si una computadora cuántica está haciendo algo interesante, producirá muchos enredos, al menos como un efecto secundario.

Sin embargo, esto no significa que el enredo sea "lo que hace que las computadoras cuánticas funcionen". El enredo es como los engranajes giratorios de una máquina: no pasa nada si no están girando, pero eso no significa que hacer que esos engranajes giren rápidamente es suficiente para que la máquina haga lo que desea. (El enredo es un recurso primitivo de esta manera para la comunicación , pero no para el cálculo, por lo que nadie ha visto).

Esto es tan cierto para la corrección de errores cuánticos como para el cálculo. Al igual que todas las formas de corrección de errores, la corrección cuántica de errores funciona mediante la distribución de información alrededor de un sistema más grande, en particular en las correlaciones de ciertos datos medibles. El entrelazamiento es solo la forma habitual en que los sistemas cuánticos se correlacionan, por lo que no debería sorprendernos que un buen código de corrección de errores cuánticos implique mucho enredo. Pero eso no significa que intentar "bombear su sistema lleno de enredos", como una especie de globo de helio, sea algo útil o significativo para proteger la información cuántica.

Si bien la corrección de errores cuánticos a veces se describe vagamente en términos de enredos, lo más importante es cómo implica verificaciones de paridad utilizando diferentes 'observables'. La herramienta más importante para describir esto es el formalismo estabilizador. El formalismo estabilizador se puede usar para describir algunos estados con grandes cantidades de enredos, pero lo más importante es que le permite razonar sobre las propiedades de múltiples qubits ("observables") con bastante facilidad. Desde esa perspectiva, uno puede llegar a comprender que la corrección de errores cuánticos está mucho más estrechamente relacionada con la física de muchos cuerpos de baja energía de los Hamiltonianos de espín, que solo el enredo en general.

— Niel de Beaudrap
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No hay un equivalente clásico al enredo. El entrelazamiento quizás se entienda mejor usando la notación Dirac (bra-ket).

Ahora considere una superposición del tipo . Esto significa que el primer qubit está en estado con probabilidad y en estado contrario, mientras que el segundo qubit siempre está en el estado opuesto al primero está en: Las dos partículas están enredadas. $\alpha \left|01\right> + \beta \left|10\right>$ $\left|0\right>$ $|\alpha|^2$ $\left|1\right>$

No es importante que en este ejemplo, los qubits enredados se encuentren en estados opuestos: también podrían estar en el mismo estado y aún estar enredados. Lo que importa es que sus estados no son independientes entre sí. Esto ha causado grandes dolores de cabeza a los físicos porque significa que los qubits (o las partículas que los transportan) no pueden tener propiedades estrictamente locales y estar gobernados por un concepto llamado realismo (reflejar sus estados como propiedad intrínseca). Einstein llamó a la paradoja resultante (si aún asume la ubicación y el realismo) "acción espeluznante a distancia".

El enredo no juega un papel especial en la corrección de errores cuánticos: la corrección de errores debe funcionar para cada estado en la base computacional (que no tiene enredos). Luego, también funciona automáticamente para superposiciones de estos estados (que pueden ser estados entrelazados).

— pirámides
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Quiero entender esto mejor, si hay enredos, ¿mejorará el rendimiento de estos algoritmos de corrección de errores o empeorará? Además, ¿es posible tener un sistema cuántico sin enredos?

— Chinni el

Tener o no tener enredos no afecta la corrección de errores cuánticos. Sí, hay sistemas cuánticos sin enredos; el estado en que se encuentra dicho sistema se llama estado del producto porque puede escribirse como (estado del primer qubit) (estado del segundo qubit), etc.

\otimes

$\otimes$

— pirámides

@ piramides: creo que la afirmación "no hay un equivalente clásico para enredarse" es (aunque es común decir) una afirmación ligeramente fuerte. Hay un análogo clásico , aunque de ninguna manera es profundamente misterioso. Lo invocamos cada vez que explique qué es el enredo --- y luego audazmente afirme que "el enredo no tiene un análogo clásico" para evitar que las personas confundan el enredo con ese mismo análogo clásico. Pero en el contexto de la corrección de errores, el papel de ese análogo clásico es precisamente lo que es en cuestión, porque es lo que hace que la corrección de errores clásica funcione.

— Niel de Beaudrap

@NieldeBeaudrap La forma en que entiendo el enredo (un estado sin producto), esta declaración es precisa en lugar de excesivamente fuerte.

— pirámides

Un par de variables aleatorias clásicas correlacionadas también es un estado no producto, y es precisamente de esta manera que es un análogo clásico del enredo. Lo que hace que su afirmación sea "fuerte" es que hay una libertad de elección en el lugar en el que uno dibuja la línea, entre fenómenos "análogos" en lugar de "no análogos", y resulta que ha dibujado la línea en un umbral alto (como es convencional por enredos, por razones históricas).

— Niel de Beaudrap el

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Para una cierta clase de códigos llamados puros , la presencia de enredos es un requisito necesario y suficiente para la corrección de errores cuánticos, es decir, para corregir todos los errores que afectan hasta un cierto número de subsistemas.

Recuerde las condiciones de Knill-Laflamme para que un código de corrección de errores cuánticos pueda detectar un cierto conjunto de errores : elija cualquier base ortonormal que abarque el espacio de código. Entonces el error se puede detectar si y solo si $\{E_\alpha\}$ $|i_\mathcal{Q}\rangle$ $E_\alpha$

⟨ i_{Q} | E_{α} | j_{Q} ⟩ = δ_{i j} C (E_{α}) . (1)

$\begin{equation} \langle i_\mathcal{Q} | E_\alpha | j_\mathcal{Q} \rangle = \delta_{ij} C(E_\alpha). \quad\quad\quad (1) \end{equation}$

Tenga en cuenta que es una constante que solo depende del error específico , pero no de y . (Esto significa que el error afecta a todos los estados en el subespacio de código de la misma manera). En el caso de , el código se llama puro . Muchos códigos estabilizadores considerados son de esta forma, no obstante, el código tórico de Kitaev. $C(E_\alpha)$ $E_\alpha$ $i$ $j$ $E_\alpha$ $C(E_\alpha) \propto \operatorname{tr}(E_\alpha)$

Supongamos un modelo de error en el que solo estamos interesados en cuántos subsistemas actúan nuestros errores. Si nuestro código puede detectar todos los errores que actúan en la mayoría subsistemas no trivial, se dice que el código tiene una distancia . Como consecuencia, cualquier combinación de errores que afecten hasta subsistemas de puede corregirse . $E_\alpha$ $(d-1)$ $d$ $\lfloor(d-1)/2\rfloor$

Lo que sigue es que para códigos puros de distancia , cada vector que se encuentra en el subespacio de código debe estar enredado al máximo en cualquier bipartición cuyo subsistema más pequeño tenga el mayor tamaño : para ver esto, tenga en cuenta que para cada error y vector en el subespacio (nuestro ONB fue elegido arbitrariamente), uno tiene que $d$ $(d-1)$ $E_\alpha \neq \mathbb{1}$ $|v_\mathcal{Q} \rangle$

⟨ E ⟩ = tr (E | v_{Q} ⟩ ⟨ v_{Q} |) = ⟨ v_{Q} | E_{α} | v_{Q} ⟩ = tr (E) = 0.

$\begin{equation} \langle E \rangle = \operatorname{tr}(E |v_\mathcal{Q} \rangle\langle v_\mathcal{Q}|) = \langle v_\mathcal{Q} |E_\alpha|v_\mathcal{Q} \rangle = \operatorname{tr}(E) = 0. \end{equation}$

Por lo tanto, todos los observables en la mayoría partes están desapareciendo, y todas las matrices de densidad reducida en las partes deben mezclarse al máximo. Esto implica que se enreda al máximo para cualquier elección de partes versus el resto. $(d-1)$ $(d-1)$ $|v_\mathcal{Q}\rangle$ $(d-1)$

Anexo (para la suficiencia): como una definición equivalente a la ecuación. (1): se pueden detectar todos los errores actúan en menos de lugares , si y solo si para todos en el subespacio de código después de que se cumpla la condición, $E_\alpha$ $d$ $|v\rangle, |w\rangle$

⟨ v | E_{α} | v ⟩ = ⟨ w | E_{α} | w ⟩ .

$\begin{equation} \langle v| E_\alpha | v\rangle = \langle w | E_\alpha| w\rangle. \end{equation}$

En el caso de los códigos puros, la expresión anterior se desvanece. De ello se deduce que si uno tiene un subespacio donde cada estado está enredado al máximo para todas las biparticiones de partidos (d-1) frente al resto, entonces es un código puro de distancia . $d$

tl; dr: para una gran distancia , un código puro consiste en estados altamente entrelazados. Es un requisito necesario y suficiente para la existencia del código. $d$

Anexo: analizamos esta pregunta más a fondo, los detalles se pueden encontrar en los códigos cuánticos de papel de distancia máxima y subespacios altamente enredados . Hay una compensación: cuantos más errores pueda corregir un código cuántico, más enredado debe estar cada vector en el espacio de código. Esto tiene sentido, porque si la información no se distribuye entre muchas partículas, el entorno, al leer algunos qubits, podría recuperar el mensaje en el espacio de código. Esto necesariamente destruiría el mensaje codificado, debido al teorema de no clonación. Por lo tanto, una gran distancia necesita un alto enredo.

— Felix Huber
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Aquí hay una manera de pensar sobre el papel del enredo en los códigos cuánticos que creo que es complementario a la respuesta de Felix Hubers.

Supongamos que tomamos un estado enredado al máximo y registramos el sistema en algún código cuántico de corrección de errores. Suponga que el código registra en los subsistemas modo que se pueda corregir la de cualquier subsistema (he tomado un ejemplo simple, pero las generalizaciones son posibles). $|\Psi\rangle_{RQ}$ $Q$ $Q$ $S_1,S_2,S_3$

Luego, hay una forma entrópica de pensar sobre las condiciones de corrección de errores (en comparación con las condiciones más algebraicas de Knill-Laflamme). Específicamente, si

I (R : S_{3}) = 0

$I(R:S_3) = 0$

$Q$ $S_1S_2$

Usando este enfoque entrópico para la corrección de errores, hay rutas bastante directas para entender el enredo en los códigos. Por ejemplo, podemos demostrar que,

I (S_{1} S_{2} : S_{3}) \geq 2 \log d_{R}

$I(S_1S_2:S_3) \geq 2\log d_R$

como sigue. Primero escribimos esta información mutua en términos de su definición,

I (S_{1} S_{2} : S_{3}) = S (S_{1} S_{2}) + S (S_{3}) - S (S_{1} S_{2} S_{3})

$I(S_1S_2:S_3) = S(S_1S_2) + S(S_3) - S(S_1S_2S_3)$

$X$ $RS_1S_2S_3X$

I (S_{1} S_{2} : S_{3}) = S (S_{3} X R) + S (S_{3}) - S (X R)

$I(S_1S_2:S_3) = S(S_3XR) + S(S_3) - S(XR)$

$Q$ $S_1S_2$ $I(R:S_3X)=I(R:X)=0$

I (S_{1} S_{2} : S_{3}) = S (S_{3} | X) + S (S_{3})

$I(S_1S_2:S_3) = S(S_3|X) + S(S_3)$

$2 \log d_R$ $S_3$ $S_1$ $Q$ $S_3$ $Q$ $S_3$ $2\log d_R$ $2\log d_R$ $I(R:S_1S_3) - I(R:S_1)$

I (R : S_{1} S_{3}) - I (R : S_{1}) = S (S_{3} | S_{1}) + S (S_{3} | X S_{2}) \leq S (S_{3}) + S (S_{3} | X)

$I(R:S_1S_3) - I(R:S_1) = S(S_3|S_1) + S(S_3|XS_2) \leq S(S_3) + S(S_3|X)$

$I(R:S_1S_3) \geq 2\log d_R$ $S_1S_3$ $Q$ $I(R:S_1)=0$ $S(S_3) + S(S_3|X)$ $I(S_1S_2:S_3)$

— Alex May
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