Si todas las puertas cuánticas deben ser unitarias, ¿qué pasa con la medición?

Todas las operaciones cuánticas deben ser unitarias para permitir la reversibilidad, pero ¿qué pasa con la medición? La medición puede representarse como una matriz, y esa matriz se aplica a qubits, por lo que parece equivalente al funcionamiento de una puerta cuántica. Eso definitivamente no es reversible. ¿Hay alguna situación en la que se puedan permitir puertas no unitarias?

Las operaciones unitarias son solo un caso especial de operaciones cuánticas , que son mapas lineales, completamente positivos ("canales") que asignan operadores de densidad a operadores de densidad. Esto se hace evidente en la representación de Kraus del canal, donde los llamados operadores de Kraus K i cumplen ∑ n i = 1 K † i K i ≤ Yo ( notación

Sin embargo, las puertas cuánticas son unitarias, porque se implementan mediante la acción de un hamiltoniano durante un tiempo específico, lo que da una evolución temporal unitaria de acuerdo con la ecuación de Schrödinger.

Respuesta corta

Operaciones cuánticas no necesitan ser unitarias. De hecho, muchos algoritmos y protocolos cuánticos hacen uso de la no unitaridad.

Respuesta larga

Las mediciones son sin duda el ejemplo más obvio de las transiciones no unitarios siendo un componente fundamental de los algoritmos (en el sentido de que una "medida" es equivalente a un muestreo de la distribución de probabilidad obtenida después de la operación decoherence ).$\sum_k c_k\lvert k\rangle\mapsto\sum_k |c_k|^2\lvert k\rangle\langle k\rvert$

De manera más general, cualquier algoritmo cuántico que implique pasos probabilísticos requiere operaciones no unitarias. Un ejemplo notable que viene a la mente es el algoritmo de HHL09 para resolver sistemas lineales de ecuaciones (ver 0811.3171 ). Un paso crucial en este algoritmo es el mapeo , donde | λ j ⟩ son vectores propios de algún operador. Este mapeo es necesariamente probabilístico y, por lo tanto, no unitario.$|\lambda_j\rangle\mapsto C\lambda_j^{-1}|\lambda_j\rangle$$|\lambda_j\rangle$

Cualquier algoritmo o protocolo que haga uso del avance (clásico) también está haciendo uso de operaciones no unitarias. Este es el conjunto de protocolos de computación cuántica unidireccionales (que, como su nombre indica, requieren operaciones no reversibles).

Los esquemas más notables para el cálculo cuántico óptico con fotones individuales también requieren mediciones y, a veces, post-selección para enredar los estados de diferentes fotones. Por ejemplo, el protocolo KLM produce puertas probabilísticas, que por lo tanto, al menos en parte, no son reversibles. Una buena revisión sobre el tema es quant-ph / 0512071 .

La ingeniería de estado cuántico inducida por disipación proporciona ejemplos menos intuitivos (por ejemplo, 1402.0529 o srep10656 ). En estos protocolos, se utiliza una dinámica disipativa de mapa abierto, y se diseña la interacción del estado con el entorno de tal manera que el estado estacionario del sistema a largo plazo sea el deseado.

A riesgo de pasar de la computación cuántica a la física, responderé a lo que creo que es una subconsulta relevante de este tema y lo usaré para informar la discusión de las puertas unitarias en la computación cuántica.

La pregunta aquí es: ¿Por qué queremos la unitaridad en las puertas cuánticas?

La respuesta menos específica es la anterior, nos da 'reversibilidad', o como los físicos a menudo hablan de ello, un tipo de simetría para el sistema. Me estoy tomando un curso de mecánica cuántica en este momento, y la forma en puertas unitarias surgieron en ese curso fue motivado por el deseo de tener transformaciones físicas T : que actúan como simetrías. Esto impone dos condiciones sobre la transformación T :$\hat{U}$$\hat{U}$

1. Las transformaciones deberían actuar linealmente sobre el estado (esto es lo que nos da una representación matricial).
2. Las transformaciones deben preservar la probabilidad, o más específicamente el producto interno . Esto significa que si definimos:

Preservación de medios de productos internos que . A partir de esta segunda especificación, se puede derivar la unitaridad (para más detalles, ver las notas del Dr. van Raamsdonk aquí$\langle \phi | | \psi \rangle= \langle \phi' | | \psi'\rangle$ ).

Entonces esto responde a la pregunta de por qué las operaciones que mantienen las cosas "reversibles" tienen que ser unitarias.

La pregunta de por qué la medición en sí no es unitaria está más relacionada con el cálculo cuántico. Una medida es una proyección sobre una base; en esencia, debe "responder" con uno o más estados básicos como el estado mismo. También deja el estado de una manera que es consistente con la "respuesta" a la medición, y no es consistente con las probabilidades subyacentes con las que comenzó el estado. Entonces, la operación satisface la especificación 1. de nuestra transformación , pero definitivamente no satisface la especificación 2. ¡No todas las matrices son iguales!$U$

Para redondear las cosas al cálculo cuántico, el hecho de que las mediciones sean destructivas y proyectivas (es decir, solo podemos reconstruir la superposición a través de mediciones repetidas de estados idénticos, y cada medición solo nos da una respuesta 0/1), es parte de lo que hace la separación entre la computación cuántica y la computación regular sutil (y parte de por qué es difícil precisar eso). Uno podría suponer que la computación cuántica es más poderosa debido al mero tamaño del espacio de Hilbert, con todas esas superposiciones de estado disponibles para nosotros. Pero nuestra capacidad para extraer esa información es muy limitada.

Según tengo entendido, esto muestra que, para fines de almacenamiento de información, un qubit es tan bueno como un bit normal, y no mejor. Pero podemos ser inteligentes en el cálculo cuántico con la forma en que se intercambia la información, debido a la estructura lineal-algebraica subyacente.

Aquí hay varios conceptos erróneos, la mayoría de ellos se originan por la exposición al formalismo de estado puro de la mecánica cuántica, así que tratemos uno por uno:

1. Todas las operaciones cuánticas deben ser unitarias para permitir la reversibilidad, pero ¿qué pasa con la medición?

Esto es falso En general, los estados de un sistema cuántico no son solo vectores en un espacio Hilbert sino matrices de densidad : traza unitaria, operadores semidefinidos positivos que actúan en el espacio H de Hilbert , es decir, ρ : H → H , T r ( ρ ) = 1 , y ρ ≥ 0 (Tenga en cuenta que los vectores de estado puro no son vectores en el espacio de Hilbert sino rayos en un espacio proyectivo complejo ; para un qubit esto equivale a que el espacio de Hilbert sea C P 1 y no C$\mathcal{H}$ $-$$\mathcal{H}$$\rho: \mathcal{H} \rightarrow \mathcal{H}$$Tr(\rho) = 1$$\rho \geq 0$$\mathbb{C}P^1$$\mathbb{C}^2$) Las matrices de densidad se utilizan para describir un conjunto estadístico de estados cuánticos.

La matriz de densidad se llama pura si y mixta si ρ 2 < ρ . Una vez que estamos tratando con una matriz de densidad de estado puro (es decir, no hay incertidumbre estadística involucrada), dado que ρ 2 = ρ , la matriz de densidad es en realidad un operador de proyección y se puede encontrar un | Psi ⟩ ∈ H tal que ρ = | Psi ⟩ ⟨ Psi | .$\rho^2 = \rho$$\rho^2 < \rho$$\rho^2 = \rho$$|\psi\rangle \in \mathcal{H}$$\rho = |\psi\rangle \langle\psi|$

La operación cuántica más general es un mapa CP (mapa completamente positivo), es decir, $\Phi: L(\mathcal{H}) \rightarrow L(\mathcal{H})$ tal que (si ∑ i K † i K i = I estos se denominan mapa CPTP (completamente positivo y preservación de trazas ) o un

Ahora, llegando a la afirmación del OP de que todas las operaciones cuánticas son unitarias para permitir la reversibilidad, esto simplemente no es cierto. La unitaridad del operador de evolución del tiempo ( $e^{-iHt/\hbar}$ ) en la mecánica cuántica (para la evolución cuántica de sistema cerrado) es simplemente una consecuencia de la ecuación de Schrödinger.

Sin embargo, cuando consideramos las matrices de densidad, la evolución más general es un mapa CP (o CPTP para un sistema cerrado para preservar la traza y, por lo tanto, la probabilidad).

2. ¿Hay alguna situación en la que se puedan permitir puertas no unitarias?

Sí. Un ejemplo importante que viene a la mente son los sistemas cuánticos abiertos donde los operadores de Kraus (que no son unitarios) son las "puertas" con las que evoluciona el sistema.

$\sum_i K_i^\dagger K_i = \mathbb{I}$$i$$K^\dagger K = \mathbb{I}$$K$$\rho \rightarrow U \rho U^\dagger$

Llegando al punto final:

3. La medición se puede representar como una matriz, y esa matriz se aplica a qubits, por lo que parece equivalente al funcionamiento de una puerta cuántica. Eso definitivamente no es reversible.

$-$$-$$|\phi\rangle \langle\phi|$$|\psi\rangle$$|\langle\phi|\psi\rangle|^2$ nos da la probabilidad de encontrar el sistema en el estado$|\phi\rangle$Después de la medición. Dado que el operador de medición es, después de todo, un proyector (o, como sugiere el OP, una matriz), ¿no debería ser lineal y físicamente similar a la evolución unitaria (que también ocurre a través de una matriz)? Esta es una pregunta interesante y, en mi opinión, difícil de responder físicamente. Sin embargo, puedo arrojar algo de luz sobre esto matemáticamente.

$\{M_{i}\}$$\mathcal{H}$$\sum _{{i=1}}^{n}M_{i}=\mathbb{I}$

los $\text{Tr}(E_i \rho E_i^\dagger) =: p_i$$M_i$$\rho \rightarrow E_i \rho E_i^\dagger$$p_i$

Edición 1: También puede interesarle el teorema de dilatación de Stinespring, que le proporciona un isomorfismo entre un mapa CPTP y una operación unitaria en un espacio de Hilbert más grande seguido de un seguimiento parcial del espacio de Hilbert (tenso) (ver 1 , 2 ).

Agregaré un poco complementando las otras respuestas, casi sobre la idea de medición.

La medición generalmente se toma como un postulado de la mecánica cuántica. Por lo general, hay algunos postulados anteriores sobre los espacios de hilbert, pero después de eso

• $A$$\hat{A}$$\mathcal{H}$
• $A$$\psi$$a_n$ $$\frac{\hat{P}_n|\psi\rangle}{\|\hat{P}_n|\psi\rangle\|},$$ $\hat{P}_n$$a_n$

Normalmente, los operadores de proyección mismos deberían satisfacer P † = P y P 2 = P$\hat{P}^\dagger=\hat{P}$$\hat{P}^2=\hat{P}$$1$$0$$\hat{P}_n$$1,0$$a_n$$|\psi\rangle$

Las mediciones también son operaciones unitarias, simplemente no lo ves: una medición es equivalente a una operación complicada (cuántica) que actúa no solo en el sistema sino también en su entorno. Si se modelara todo como un sistema cuántico (incluido el medio ambiente), se tendrían operaciones unitarias en todo momento.

Sin embargo, por lo general, tiene poco sentido en esto porque generalmente no conocemos la acción exacta sobre el medio ambiente y, por lo general, no nos importa. Si consideramos solo el sistema, el resultado es el colapso bien conocido de la función de onda, que de hecho es una operación no unitaria.

Los estados cuánticos pueden cambiar de dos maneras: 1. cuánticamente , 2. clásicamente .

1. Todos los cambios de estado que tienen lugar cuánticamente son unitarios. Todas las puertas cuánticas, errores cuánticos, etc., son cambios cuánticos .

2. No hay obligación sobre cambios clásicos de ser unitarios, por ejemplo, la medición es un cambio clásico .

Más razón, por qué se dice que el estado cuántico se 'perturba' una vez que se mide.