Dada una descomposición para una

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Supongamos que tenemos una descomposición de circuito de una unitaria utilizando algún conjunto de compuerta universal (por ejemplo, compuertas CNOT y unidades unitarias de qubit único). ¿Existe una forma directa de anotar el circuito de la unitaria controlada correspondiente utilizando el mismo conjunto de compuerta universal? $U$ $C_U$

Por ejemplo, tome , como un circuito: $U=i Y = H X H X$

Podemos reemplazar las puertas por puertas (CNOT) para obtener $X$ $C_X$ $C_U$ :

Esto funciona porque si el qubit de control está en el estado la acción sobre el objetivo es , mientras que para se aplica al circuito de . Para diferentes , en particular si actúa en varios qubits, crear un circuito de este tipo podría ser engorroso. ¿Hay alguna receta para obtener el circuito de dado que sabes cómo construir ? $|0\rangle$ $H^2=\mathbb{I}$ $|1\rangle$ $U$ $U$ $C_U$ $U$

— M. Stern
fuente

¿Estás preguntando cómo construir una CU a partir de una U arbitraria de un qubit? Puede encontrar un método para hacerlo en el capítulo 4 de N&C (véase, por ejemplo, la figura 4.6 en la última edición), que es básicamente la generalización de la descomposición que mostró

— glS

@glS oh wow, no estaba al tanto de eso. Se ve exactamente como mi ejemplo. Es bueno ver cómo implementa la fase

α

$\alpha$ . ¿Pero no parecen discutir la generalización a más qubits objetivo?

— M. Stern

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Es posible que la pregunta no esté completamente bien definida, en el sentido de que para pedir una forma de calcular partir de una descomposición de , debe especificar el conjunto de puertas que está dispuesto a usar. De hecho, es un resultado conocido que cualquier puerta de bits puede descomponerse exactamente usando operaciones y de un solo qubit, por lo que una respuesta ingenua a la pregunta sería: simplemente descomponga usando un solo qubit y s. $C(U)$ $U$ $n$ $\text{CNOT}$ $C(U)$ $\text{CNOT}$

Una interpretación diferente de la pregunta es la siguiente: dada , ¿puedo calcular usando un conjunto de operaciones de un solo qubit y s no en el qubit de control , y s con el control siendo el primer qubit? Esto se puede hacer generalizando un resultado que se encuentra en el capítulo cuatro de Nielsen & Chuang . $U$ $C(U)$ $\text{CNOT}$ $\text{CNOT}$

Sea una puerta de un solo qubit. Entonces se puede demostrar que siempre se puede escribir como , donde es la puerta Pauli X, y y son operaciones de un solo qubit de manera que ( ver N&C para una prueba). Se deduce que $U$ $U$ $U = e^{i\alpha} AXBXC$ $X$ $A, B$ $C$ $ABC=I$ donde es una puerta de fase aplicada al primer qubit, y son aplicado al segundo qubit. Esto es inmediato una vez que te das cuenta de eso, si ese primer qubit es , entonces

C (U) = Φ_{1} (α) A_{2} C (X) B_{2} C (X) C_{2},

$C(U)=\Phi_1(\alpha)A_2C(X)B_2C(X) C_2,$

Φ_{1} (α) \equiv (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & e^{i α} \end{matrix}) \otimes I

$\Phi_1(\alpha)\equiv\begin{pmatrix}1&0\\0&e^{i\alpha}\end{pmatrix}\otimes I$

A_{2}, B_{2}, C_{2}

$A_2, B_2, C_2$

A, B, C

$A, B, C$

| 0 ⟩

$|0\rangle$

C (X)

$C(X)$ se convierte en una identidad, y en el segundo qubit tienes las operaciones

, que dan la identidad. Por otro lado, si el primer qubit es

, a continuación, en la segunda banda que tiene

, que (junto con la fase) es igual a

por definición.

A B C

$ABC$

| 1 ⟩

$|1\rangle$

A X B X C

$AXBXC$

U

$U$

La descomposición anterior se puede utilizar para encontrar una manera ingenua de calcular para una puerta unitaria general de bits. La observación principal es que si para cualquier conjunto de puertas , entonces $C(U)$ $n$ $U=A_1 A_2\cdots A_m$ $\{A_1,..,A_m\}$ Pero también sabemos que cualquier qubit puede descomponerse en términos de CNOT y operaciones de un solo qubit. Se deduce que es una secuencia de operaciones CCNOT y , donde CCNOT es aquí unapuerta aplicada a algún qubit condicionado a que otros dos qubits estén , y es una operación de un solo qubit en algún qubit. Pero, de nuevo, cualquier operación CCNOT (también llamadaToffoli), puede descomponerse como se muestra en la Figura 4.9 en N&C, y la

C (U) = C ({UN}_{1}) C ({UN}_{2}) \dots C ({UN}_{metro}) .

$C(U)=C(A_1)C(A_2)\cdots C(A_m).$

n

$n$

U

$U$

C (U)

$C(U)$

C (V)

$C(V)$

X

$X$

| 1 ⟩

$|1\rangle$

V

$V$

C (V)

$C(V)$ se descomponen como se muestra en la primera parte de la respuesta.

Este método permite descomponer una puerta unitaria general de bits usando solo y puertas de un solo qubit. Luego puede ir más allá y generalizar esto para encontrar una descomposición para el caso de qubits de control múltiple. Para esto, solo necesita una forma de descomponer las compuertas Toffoli, que nuevamente se encuentra en la Figura 4.9 de N&C. $n$ $U$ $\text{CNOT}$

— glS
fuente

Creo que eso es lo que estaba buscando. Solo para asegurarnos: Digamos que la descomposición conocida

contiene

y puertas de un solo qubit. Luego, para puertas de un solo qubit, reemplazamos

por

, que se construye siguiendo la descripción en N&C. Y las

son reemplazadas por puertas Toffoli (que también podrían descomponerse). ¿Derecho?

U = A_{1} A_{2} \dots A_{m}

$U=A_1 A_2 \dots A_m$

C (X)

$C(X)$

A_{i}

$A_i$

C (A_{i})

$C(A_i)$

C (X)

$C(X)$

— M. Stern

@ M.Stern bien casi. Si

contiene una

(que más precisamente sería una

, actuando entre

-th y

-th qubit, con

), entonces la puerta equivalente en

ya es una puerta Toffoli, con el primer e

-qubits como control y el

-th qubit como objetivo. Por lo tanto, puede ir y reemplazar el Toffolis usando las descomposiciones conocidas

U

$U$

C (X)

$C(X)$

C (X)_{i j}

$C(X)_{ij}$

i

$i$

j

$j$

i, j > 1

$i, j>1$

C (U)

$C(U)$

i

$i$

j

$j$

— glS

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Aunque esto podría no responder a su pregunta por completo, creo que podría proporcionar alguna dirección de pensamiento. Aquí hay dos hechos importantes:

Cualquier matriz unitaria se puede realizar en una computadora cuántica con bits cuánticos mediante una secuencia finita de compuertas de qubit controladas y no individuales ¹ . $2^{n}\times 2^{n}$ $M$ $n$
Supongamos que es una matriz unitaria que satisface , y . Luego, seis puertas elementales son necesarias y suficientes para implementar un gate ² controlado . $U$ $2\times 2$ $\text{tr } U \neq 0$ $\text{tr} (UX) \neq 0$ $\text{det } U \neq 1$ $U$

Debería ser posible extender el segundo caso al caso general , dado el primer punto, aunque no he encontrado ningún documento que lo haga explícitamente. $n\times n$

1 Puertas elementales para computación cuántica-A. Barenco (Oxford), CH Bennett (IBM), R. Cleve (Calgary), DP DiVincenzo (IBM), N. Margolus (MIT), P. Shor (AT&T), T. Sleator (NYU), J. Smolin (UCLA ), H. Weinfurter (Innsbruck)

2 Realizaciones óptimas de puertas unitarias controladas - Guang Song, Andreas Klappenecker (Texas A&M University)

— Sanchayan Dutta
fuente