Esta es la forma más básica:
$url = "http://other-site/image.png";
$dir = "/my/local/dir/";
$rfile = fopen($url, "r");
$lfile = fopen($dir . basename($url), "w");
while(!feof($url)) fwrite($lfile, fread($rfile, 1), 1);
fclose($rfile);
fclose($lfile);
Pero si está haciendo mucho, mucho de esto (o su host bloquea el acceso a archivos a sistemas remotos), considere usar CURL, que es más eficiente, ligeramente más rápido y está disponible en más hosts compartidos.
¡También puede falsificar el agente de usuario para que parezca un escritorio en lugar de un bot!
$url = "http://other-site/image.png";
$dir = "/my/local/dir/";
$lfile = fopen($dir . basename($url), "w");
$ch = curl_init();
curl_setopt($ch, CURLOPT_URL, $url);
curl_setopt($ch, CURLOPT_HEADER, 0);
curl_setopt($ch, CURLOPT_RETURNTRANSFER, 1);
curl_setopt($ch, CURLOPT_USERAGENT, 'Mozilla/4.0 (compatible; MSIE 7.0; Windows NT 5.1)');
curl_setopt($ch, CURLOPT_FILE, $lfile);
fclose($lfile);
curl_close($ch);
Con ambos casos, es posible que desee pasarlo a través de GD para asegurarse de que realmente sea una imagen.