(La honestidad y la integridad matemática, dada la cantidad de votos en esta "respuesta", me han llevado a editar esta respuesta. Espere el mayor tiempo posible porque fue un breve comentario y no como algo "profundo", por lo que poner cualquier explicación parecía contraria al propósito. Sin embargo, los comentarios dejan en claro que debería ser claro para evitar malentendidos. )
Mi respuesta original:
La redacción de esta parte de la especificación:
Si es 0, quiero establecerlo en 1, de lo contrario, establecerlo en 0.
implica que la solución más precisa es:
v = dirac_delta(0,v)
En primer lugar, la confesión: me ponga las funciones delta confundidos. El delta de Kronecker habría sido un poco más apropiado, pero no tanto como quería algo que fuera independiente del dominio (el delta de Kronecker se usa principalmente solo para enteros). Pero realmente no debería haber usado las funciones delta en absoluto, debería haber dicho:
v = characteristic_function({0},v)
Déjame aclarar. Recordemos que un función es un triple, (X, Y, f) , donde X y Y son conjuntos (llamados el dominio y codominio respectivamente) y f es una regla que asigna un elemento de Y a cada elemento de X . Escribimos a menudo la triple (X, Y, f) como f: X → Y . Dado un subconjunto de X , digamos A , hay una función característica que es una función χ A : X → {0,1}(también se puede considerar como una función para un codominio más grande como ℕ o ℝ). Esta función está definida por la regla:
χ A (x) = 1 si x ∈ A y χ A (x) = 0 si x ∉ A .
Si le gustan las tablas de verdad, es la tabla de verdad para la pregunta "¿Es el elemento x de X un elemento del subconjunto A ?".
Entonces, a partir de esta definición, está claro que la función característica es lo que se necesita aquí, con X un conjunto grande que contiene 0 y A = {0} . Eso es lo que debería haber escrito.
Y así para las funciones delta. Para esto, necesitamos saber sobre la integración. O ya lo sabes o no. Si no lo hace, nada de lo que pueda decir aquí le informará sobre las complejidades de la teoría, pero puedo dar un resumen de una oración. Una medida en un conjunto X es en esencia "lo que se necesita para que los promedios funcionen". Es decir que si tenemos un conjunto X y una medida μ en ese conjunto, entonces hay una clase de funciones X → ℝ , llamadas funciones medibles para las cuales la expresión ∫ X f dμ tiene sentido y es, en cierto sentido vago, el "promedio" de f sobre X .
Dada una medida en un conjunto, se puede definir una "medida" para subconjuntos de ese conjunto. Esto se hace asignando a un subconjunto la integral de su función característica (suponiendo que esta sea una función medible). Esto puede ser infinito o indefinido (los dos son sutilmente diferentes).
Hay muchas medidas, pero hay dos que son importantes aquí. Una es la medida estándar en la línea real, ℝ. Para esta medida, entonces ∫ ℝ f dμ es más o menos lo que se te enseña en la escuela (¿todavía se enseña cálculo en las escuelas?): Resume pequeños rectángulos y toma anchos cada vez más pequeños. En esta medida, la medida de un intervalo es su ancho. La medida de un punto es 0.
Otra medida importante, que funciona en cualquier conjunto, se llama medida puntual . Se define para que la integral de una función sea la suma de sus valores:
∫ X f dμ = ∑ x ∈X f (x)
Esta medida asigna a cada conjunto de singleton la medida 1. Esto significa que un subconjunto tiene una medida finita si y solo si es finita. Y muy pocas funciones tienen integral finita. Si una función tiene una integral finita, debe ser distinta de cero en un número contable de puntos. Entonces, la gran mayoría de las funciones que probablemente conoces no tienen integral finita bajo esta medida.
Y ahora a las funciones delta. Tomemos una definición muy amplia. Tenemos un espacio medible (X, μ) (por lo que es un conjunto con una medida sobre ella) y un elemento a ∈ X . "Definimos" la función delta (dependiendo de a ) para que sea la "función" δ a : X → ℝ con la propiedad de que δ a (x) = 0 si x ≠ a y ∫ X δ a dμ = 1 .
El hecho más importante acerca de esto para conseguir esto es: la función delta no necesita ser una función . Se no correctamente definida: no he dicho lo delta un (a) es.
Lo que haces en este momento depende de quién eres. El mundo aquí se divide en dos categorías. Si eres matemático, dices lo siguiente:
Bien, entonces la función delta podría no estar definida. Echemos un vistazo a sus propiedades hipotéticas y ver si podemos encontrar un hogar adecuado para ello donde se define. Podemos hacer eso y terminamos con distribuciones . Estas no son (necesariamente) funciones, pero son cosas que se comportan un poco como funciones, y a menudo podemos trabajar con ellas como si fueran funciones; pero hay ciertas cosas que no tienen (como "valores"), por lo que debemos tener cuidado.
Si no eres matemático, dices lo siguiente:
Bien, entonces la función delta podría no estar definida correctamente. Quien dice eso ¿Un grupo de matemáticos? ¡Ingnóralos! Que saben ellos
Habiendo ofendido ahora a mi audiencia, continuaré.
El delta de dirac generalmente se toma como la función delta de un punto (a menudo 0) en la línea real con su medida estándar. Entonces, aquellos que se quejan en los comentarios sobre mí sin saber mis deltas lo están haciendo porque están usando esta definición. Les pido disculpas: aunque puedo esquivar eso usando la defensa del matemático (como lo popularizó Humpty Dumpty : simplemente redefinir todo para que sea correcto), es una mala forma usar un término estándar para significar algo diferente.
Pero no es una función delta que no hago lo que quiero que haga y es lo que necesito aquí. Si tomo una medida de punto en un conjunto X entonces no es una verdadera función δ un : X → ℝ que satisfaga los criterios para una función delta. Esto se debe a que estamos buscando una función X → ℝ que es cero excepto en una , y de tal manera que la suma de todos sus valores es una función 1. Tal es simple: la pieza única falta de información es su valor en una , y para que la suma sea 1, simplemente le asignamos el valor 1. Esta no es otra que la función característica de {a} . Entonces:
∫ X δ a dμ = ∑ x ∈ X δ a (x) = δ a (a) = 1.
Entonces, en este caso, para un conjunto singleton, la función característica y la función delta están de acuerdo.
En conclusión, hay tres familias de "funciones" aquí:
- Las funciones características de los conjuntos singleton,
- Las funciones delta,
- Las funciones delta de Kronecker.
El segundo de estos es el más general, ya que cualquiera de los otros es un ejemplo de ello cuando se usa la medida puntual. Pero el primero y el tercero tienen la ventaja de que siempre son funciones genuinas. El tercero es en realidad un caso especial del primero, para una familia particular de dominios (enteros o algún subconjunto de los mismos).
Así que, finalmente, cuando escribí originalmente la respuesta que yo no estaba pensando correctamente (yo no ir tan lejos como para decir que yo estaba confundido , como espero yo sólo he demostrado que no sé lo que estoy hablando cuando De hecho, primero pienso, simplemente no pensé mucho). El significado habitual del delta de dirac no es lo que se quiere aquí, pero uno de los puntos de mi respuesta fue que el dominio de entrada no estaba definido, por lo que el delta de Kronecker tampoco habría sido correcto. Así, la mejor respuesta matemática (a la que apuntaba) habría sido la función característica .
Espero que todo esté claro; ¡y también espero no tener que volver a escribir una pieza matemática utilizando entidades HTML en lugar de macros TeX!