La respuesta aceptada es realmente correcta, pero debe vincularla a un detector de eventos para que se actualice cada vez que se cambie la entrada del archivo.
document.getElementById('fileInput').onchange = function(){
var filesize = document.getElementById('fileInput').files[0].size;
console.log(filesize);
}
Si está utilizando la biblioteca jQuery, el siguiente código puede ser útil
$('#fileInput').on('change',function(){
if($(this).get(0).files.length > 0){
var fileSize = $(this).get(0).files[0].size;
console.log(fileSize);
}
});
Dado que la conversión de fileSize para mostrar en cualquier métrica depende de usted.