Actualizando la respuesta al estado actual de Azure,
Los servicios de aplicaciones ahora reemplazan todos los tipos de aplicaciones móviles, API y web como un marco de aplicación único con toda la funcionalidad renovada para hacer las cosas más accesibles en todos los tipos de aplicaciones. Actualmente, todas las aplicaciones web, móviles y de API se denominan colectivamente servicios de aplicaciones. Todavía ofrecemos al cliente la posibilidad de crear una aplicación móvil y una aplicación web en la galería, pero eso básicamente se resuelve en una aplicación de servicio de aplicaciones.
https://azure.microsoft.com/en-us/documentation/articles/app-service-api-apps-why-best-platform/
Funciones para el trabajo móvil para la aplicación web, así como Easy Tables y Easy API. Y las funciones para aplicaciones API como API Cors y definiciones API ahora también funcionan en aplicaciones web. Un cliente puede alojar una sola aplicación web para que actúe como cualquier servicio móvil o una API con todas las funciones que se ofrecen a través de los servicios de la aplicación.
También tenemos un nuevo servicio en vista previa especialmente dirigido a aplicaciones API al ofrecer una experiencia de administración para sus API. Básicamente, puede controlar la generación de páginas de prueba API, recopilar análisis de ejecución, aceleración y mucho más. Consulte el blog de características para obtener más información sobre las características de administración de API de Azure. Y sí, puede alojar las API como una aplicación de servicio de aplicaciones y conectar todo con API Management.
https://azure.microsoft.com/en-us/documentation/articles/api-management-get-started/