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El BottomSheetahora es parte del android-support-library. Vea la respuesta de John Shelleys .
Desafortunadamente, actualmente no hay una forma "oficial" de cómo hacer esto (al menos ninguna que yo sepa).
Afortunadamente, hay una biblioteca llamada "BottomSheet" (clic) que imita la apariencia del BottomSheety es compatible con Android 2.1 y versiones posteriores.
En el caso de la aplicación Drive, así es como se vería el código con esta biblioteca:
new BottomSheet.Builder(this, R.style.BottomSheet_Dialog)
.title("New")
.grid()
.sheet(R.menu.menu_bottom_sheet)
.listener(new DialogInterface.OnClickListener() {
@Override
public void onClick(DialogInterface dialog, int which) {
}
}).show();
menu_bottom_sheet (básicamente un recurso estándar /res/menu/*.xml)
<menu xmlns:android="http://schemas.android.com/apk/res/android">
<item
android:id="@+id/folder"
android:title="Folder"
android:icon="@drawable/ic_action_folder" />
<item
android:id="@+id/upload"
android:title="Upload"
android:icon="@drawable/ic_action_file_upload" />
<item
android:id="@+id/scan"
android:title="Scan"
android:icon="@drawable/ic_action_camera_alt" />
</menu>
La salida se ve así:

Lo cual, creo, se acerca bastante al original. Si no está satisfecho con los colores, puede personalizarlo; vea esto (haga clic) .