Complejidad temporal del algoritmo Sieve of Eratosthenes

De Wikipedia:

La complejidad del algoritmo son O(n(logn)(loglogn))las operaciones de bits.

¿Cómo llegas a eso?

Que la complejidad incluya el loglogntérmino me dice que hay un sqrt(n)lugar.

Supongamos que estoy ejecutando el tamiz en los primeros 100 números ( n = 100), suponiendo que marcar los números como compuestos toma un tiempo constante (implementación de matriz), la cantidad de veces que usamos mark_composite()sería algo así como

n/2 + n/3 + n/5 + n/7 + ... + n/97        =      O(n^2)                         

Y para encontrar el siguiente número primo (por ejemplo, para saltar 7después de tachar todos los números que son múltiplos de 5), el número de operaciones sería O(n).

Entonces, la complejidad sería O(n^3). ¿Estás de acuerdo?

1. Su n / 2 + n / 3 + n / 5 +… n / 97 no es O (n), porque el número de términos no es constante. [Editar después de su edición: O (n ² ) es un límite superior demasiado suelto.] Un límite superior suelto es n (1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 +… 1 / n) (suma de los recíprocos de todos los números hasta n), que es O (n log n): consulte Número armónico . Un límite superior más adecuado es n (1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 +…), que es la suma de los recíprocos de los números primos hasta n, que es O (n log log n). (Vea aquí o aquí ).

2. El bit "encontrar el siguiente número primo" es solo O (n) en total, amortizado ; avanzará para encontrar el siguiente número solo n veces en total , no por paso. Entonces, toda esta parte del algoritmo toma solo O (n).

Entonces, usando estos dos, obtienes un límite superior de operaciones aritméticas O (n log log n) + O (n) = O (n log log n). Si cuenta operaciones de bits, dado que está tratando con números hasta n, tienen aproximadamente log n bits, que es donde entra el factor de log n, lo que da O (n log n log log n) operaciones de bits.

Que la complejidad incluya el término loglogn me dice que hay un sqrt (n) en alguna parte.

Tenga en cuenta que cuando encuentra un número primo Pmientras tamiza, no comienza a tachar números en su posición actual + P; de hecho, comienzas a tachar los números en P^2. Todos los múltiplos de Pmenos de P^2habrán sido tachados por números primos anteriores.

1. El bucle interno hace n/ipasos, donde ies primo => toda la complejidad es sum(n/i) = n * sum(1/i). Según la serie de armónicos primos, sum (1/i)donde ies primo es log (log n). En total O(n*log(log n)),.

2. Creo que el bucle superior se puede optimizar reemplazando ncon sqrt(n)la complejidad del tiempo total O(sqrt(n)loglog(n)):

   void isprime(int n)
   {
       int prime[n],i,j,count1=0;
       for(i=0;i<n;i++)
       {
          prime[i]=1;
       }
       prime[0]=prime[1]=0;
       for(i=2;i<=n;i++)
       {
           if(prime[i]==1)
           {
               printf("%d ",i);
               for(j=2;(i*j)<=n;j++)
                   prime[i*j]=0;
           }
       }    
   }
   

consulte la explicación anterior, el ciclo interno es la suma armónica de todos los números primos hasta sqrt (n). Entonces, la complejidad real de es O (sqrt (n) * log (log (sqrt (n))))