Simplemente use el selector de clase simple.
$('#my_id .my_class')
No importa si el elemento también tiene otras clases. Tiene la clase .my_class , y está en algún lugar dentro de #my_id , por lo que coincidirá con ese selector.
Respecto al desempeño
De acuerdo con la documentación de rendimiento del selector de jQuery , es más rápido usar los dos selectores por separado, así:
$('#my_id').find('.my_class')
Aquí está la parte relevante de la documentación:
Selectores basados en ID
// Fast:
$( "#container div.robotarm" );
// Super-fast:
$( "#container" ).find( "div.robotarm" );
El .find()enfoque es más rápido porque la primera selección se maneja sin pasar por el motor de selección de Sizzle; las selecciones de solo ID se manejan usando document.getElementById(), que es extremadamente rápido porque es nativo del navegador.
Seleccionar por ID o solo por clase (entre otras cosas) invoca funciones proporcionadas por el navegador document.getElementById()que son bastante rápidas, mientras que usar un selector descendente invoca el motor Sizzle como se mencionó que, aunque rápido, es más lento que la alternativa sugerida.