En aritmética de números enteros de C #, ¿a / b / c siempre es igual a a / (b * c)?

Sean a, byc números enteros positivos no grandes. ¿A / b / c siempre es igual a a / (b * c) con aritmética de números enteros de C #? Para mí, en C # se ve así:

int a = 5126, b = 76, c = 14;
int x1 = a / b / c;
int x2 = a / (b * c);

Entonces mi pregunta es: ¿ x1 == x2para todo a, by c?

Dejar que \denotan división entera (C # /operador entre dos ints) y dejar que /denotan división matemática habitual. Entonces, si x,y,zson enteros positivos y estamos ignorando el desbordamiento ,

(x \ y) \ z
    = floor(floor(x / y) / z)      [1]
    = floor((x / y) / z)           [2]
    = floor(x / (y * z))
    = x \ (y * z)

dónde

a \ b = floor(a / b)

El salto de una línea [1]a otra [2]se explica a continuación. Suponga que tiene dos números enteros ay by un número fraccionario fen el rango [0, 1). Es sencillo ver que

floor(a / b) = floor((a + f) / b)  [3]

Si de acuerdo [1]a identificar a = floor(x / y), f = (x / y) - floor(x / y)y b = z, a continuación, [3]implica que [1]y [2]son iguales.

Puede generalizar esta prueba a enteros negativos (aún ignorando el desbordamiento ), pero se lo dejo al lector para que sea sencillo.

Sobre el tema del desbordamiento , consulte la respuesta de Eric Lippert para obtener una buena explicación. También adopta un enfoque mucho más riguroso en la publicación y la respuesta de su blog , algo que deberías considerar si sientes que estoy siendo demasiado ondulante.

Me gustó tanto esta pregunta que la convertí en el tema de mi blog el 4 de junio de 2013 . ¡Gracias por la gran pregunta!

Los estuches grandes son fáciles de conseguir. Por ejemplo:

a = 1073741823; 
b = 134217727;
c = 134217727;

porque se b * cdesborda a un número negativo.

Yo agregaría a eso el hecho de que en aritmética comprobada , la diferencia entre a / (b * c)y (a / b) / cpuede ser la diferencia entre un programa que funciona y un programa que falla. Si el producto de by cdesborda los límites de un entero, el primero se bloqueará en un contexto verificado.

Para pequeños enteros positivos, digamos, lo suficientemente pequeños como para caber en un corto, se debe mantener la identidad.

Timothy Shields acaba de publicar una prueba; Presento aquí una prueba alternativa. Suponga que todos los números aquí son enteros no negativos y que ninguna de las operaciones se desborda.

La división x / yentera de encuentra el valor qtal que q * y + r == x, donde 0 <= r < y.

Entonces la división a / (b * c)encuentra el valor q1tal que

q1 * b * c + r1 == a

dónde 0 <= r1 < b * c

la división ( a / b ) / cprimero encuentra el valor qttal que

qt * b + r3 == a

y luego encuentra el valor q2tal que

q2 * c + r2 == qt

Así que sustituye eso por qty obtenemos:

q2 * b * c + b * r2 + r3 == a

donde 0 <= r2 < cy 0 <= r3 < b.

Dos cosas iguales son iguales entre sí, así que tenemos

q1 * b * c + r1 == q2 * b * c + b * r2 + r3

Supongamos q1 == q2 + xpor algún número entero x. Sustituye eso y resuelve para x:

q2 * b * c + x * b * c + r1 = q2 * b * c + b * r2 + r3
x  = (b * r2 + r3 - r1) / (b * c)

dónde

 0 <= r1 < b * c
 0 <= r2 < c
 0 <= r3 < b

¿Puede xser mayor que cero? No. Tenemos las desigualdades:

 b * r2 + r3 - r1 <= b * r2 + r3 <= b * (c - 1) + r3 < b * (c - 1) + b == b * c

Entonces, el numerador de esa fracción es siempre menor que b * c, por xlo que no puede ser mayor que cero.

¿Puede xser menor que cero? No, por argumento similar, se deja al lector.

Por lo tanto, el entero xes cero y, por lo tanto q1 == q2.

Si los valores absolutos de by cestán por debajo de aproximadamente sqrt(2^31)(aprox. 46 300), por lo que b * cnunca se desbordará, los valores siempre coincidirán. Si se b * cdesborda, se puede arrojar un error en un checkedcontexto o se puede obtener un valor incorrecto en un uncheckedcontexto.

Evitando los errores de desbordamiento notados por otros, siempre coinciden.

Supongamos eso a/b=q1, lo que significa eso a=b*q1+r1, dónde 0<=r1<b.
Ahora suponga eso a/b/c=q2, lo que significa eso q1=c*q2+r2, dónde 0<=r2<c.
Esto significa eso a=b(c*q2+r2)+r1=b*c*q2+br2+r1.
Para a/(b*c)=a/b/c=q2, necesitamos tener 0<=b*r2+r1<b*c.
Pero b*r2+r1<b*r2+b=b*(r2+1)<=b*c, según sea necesario, y las dos operaciones coinciden.

Esto no funciona si bo cson negativos, pero tampoco sé cómo funciona la división de enteros en ese caso.

Ofreceré mi propia prueba por diversión. Esto también ignora el desbordamiento y, lamentablemente, solo maneja los positivos, pero creo que la prueba es clara y clara.

El objetivo es demostrar que

floor(floor(x/y)/z) = floor(x/y/z)

donde /es la división normal (a lo largo de esta prueba).

Representamos el cociente y el resto de a/b únicamente como a = kb + r(con eso queremos decir que k,rson únicos y también nota |r| < |b|). Entonces tenemos:

(1) floor(x/y) = k => x = ky + r
(2) floor(floor(x/y)/r) = k1 => floor(x/y) = k1*z + r1
(3) floor(x/y/z) = k2 => x/y = k2*z + r2

Entonces, nuestro objetivo es simplemente mostrar eso k1 == k2. Bueno, tenemos:

k1*z + r1 = floor(x/y) = k = (x-r)/y (from lines 1 and 2)
=> x/y - r/y = k1*z + r1 => x/y = k1*z + r1 + r/y

y por lo tanto:

(4) x/y = k1*z + r1 + r/y (from above)
x/y = k2*z + r2 (from line 3)

Ahora observe de (2) que r1es un número entero (porque k1*zes un número entero por definición) y r1 < z(también por definición). Además de (1) sabemos eso r < y => r/y < 1. Ahora considere la suma r1 + r/yde (4). La afirmación es que r1 + r/y < zy esto se desprende de las afirmaciones anteriores (porque 0 <= r1 < zy r1es un número entero, por lo que tenemos 0 <= r1 <= z-1. Por lo tanto 0 <= r1 + r/y < z). Así, r1 + r/y = r2por definición de r2(de lo contrario, habría dos residuos de los x/yque contradice la definición de residuo). Por tanto tenemos:

x/y = k1*z + r2
x/y = k2*z + r2

y tenemos la conclusión deseada de eso k1 = k2.

La prueba anterior debería funcionar con negativos, excepto por un par de pasos que necesitaría para verificar un caso (s) adicional (s) ... pero no lo verifiqué.

ejemplo de contador: INT_MIN / -1 / 2