Admitiré de antemano que esta respuesta no responde a la pregunta original, la de poder acceder en general al Manifiesto. Sin embargo, si lo que realmente se requiere es leer uno de varios atributos de Manifiesto "estándar", la siguiente solución es mucho más simple que las publicadas anteriormente. Así que espero que el moderador lo permita. Tenga en cuenta que esta solución está en Kotlin, no en Java, pero esperaría que un puerto a Java fuera trivial. (Aunque admito que no sé el equivalente Java de ".`package".
En mi caso, quería leer el atributo "Implementation-Version", así que comencé con las soluciones dadas anteriormente para obtener el flujo y luego lo leí para obtener el valor. Si bien esta solución funcionó, un compañero de trabajo que revisó mi código me mostró una manera más fácil de hacer lo que quería. Tenga en cuenta que esta solución está en Kotlin, no en Java.
val myPackage = MyApplication::class.java.`package`
val implementationVersion = myPackage.implementationVersion
Una vez más, tenga en cuenta que esto no responde a la pregunta original, en particular "Export-package" no parece ser uno de los atributos admitidos. Dicho esto, hay un myPackage.name que devuelve un valor. Quizás alguien que entiende esto más de lo que puedo comentar si eso devuelve el valor que solicita el póster original.