¿Cómo calculo el vector normal de un segmento de línea?

177

Supongamos que tengo un segmento de línea que va de (x1, y1) a (x2, y2). ¿Cómo calculo el vector normal perpendicular a la línea?

Puedo encontrar muchas cosas sobre hacer esto para planos en 3D, pero no hay cosas en 2D.

Por favor, tenga cuidado con las matemáticas (los enlaces a ejemplos trabajados, diagramas o algoritmos son bienvenidos), soy un programador más que un matemático;)

math geometry vector

— Piku
fuente

2

Y si quieres saber sobre las "matemáticas" detrás de esto, puedes buscar mi respuesta en stackoverflow.com/a/7470098/189767 . Es básicamente lo mismo, pero más elaborado.

— Andreas

2

Esta pregunta es sobre matemáticas, no sobre programación.

— Charlie

1

Estoy votando para cerrar esta pregunta como fuera de tema porque se trata de matemáticas, no de programación.

— Pang

237

si definimos dx = x2-x1 y dy = y2-y1, entonces las normales son (-dy, dx) y (dy, -dx).

Tenga en cuenta que no se requiere división, por lo que no corre el riesgo de dividir por cero.

— Oren Trutner
fuente

14

Es bastante sutil y me llevó un tiempo darme cuenta de normal.x = -dy y normal.y = dx. Los tenía al revés porque parecía un error asignar la parte x para el valor y ...

— Piku

@OrenTrutner Todavía no entiendo esto; (x', y') = (-y, x)y (x', y') = (y, -x)parece estar en lo cierto, pero ¿por qué uno usaría dxy dyaquí? Además, en función de las pendientes, m1 * m2 = -1para las líneas de ángulo recto, por lo tanto , dy' = dx' * (-dx/dy)y dx' = dy' * (-dy/dx)¿cómo se obtiene su ecuación normal.x = x' = -dy?

— legends2k

1

¿Podría por favor informarme más sobre cómo el delta juega un papel aquí? Estoy seguro de que me falta algo aquí.

— legends2k

77

@ legends2k: El delta es el vector tangente. Lo normal es la dirección perpendicular a la tangente. Voltear los valores x / y y negar uno se vuelve obvio si observa una matriz 2D para una rotación de 90 grados: en.wikipedia.org/wiki/Rotation_matrix#Basic_rotations

— geon

@geon: ¡Aah! Entendido, estaba confundiendo el delta con la pendiente, mientras que en geometría afinada la diferencia entre dos puntos es un vector, el tanget aquí :)

— legends2k

95

Otra forma de pensarlo es calcular el vector unitario para una dirección dada y luego aplicar una rotación de 90 grados en sentido antihorario para obtener el vector normal.

La representación matricial de la transformación 2D general se ve así:

x' = x cos(t) - y sin(t)
y' = x sin(t) + y cos(t)

donde (x, y) son los componentes del vector original y (x ', y') son los componentes transformados.

Si t = 90 grados, entonces cos (90) = 0 y sin (90) = 1. Sustituirlo y multiplicarlo da:

x' = -y
y' = +x

El mismo resultado que se dio anteriormente, pero con un poco más de explicación de dónde proviene.

— duffymo
fuente

2

Muchas gracias, me estaba rompiendo la cabeza sobre cómo se estaba derivando.

— legends2k

1

Aunque conocía la fórmula de rotación anteriormente, lo que hizo clic dentro de mi cabeza, por esta respuesta, fue que el ángulo es una constante (+/- 90), lo que lo simplifica a una simple negación e inversión de x e y.

— legends2k

@duffymo ¿el resultado tiene una longitud de uno?

— Martin Meeser

Si el vector se normaliza antes de la transformación, seguirá siéndolo después. Debe normalizar antes o después de realizar la transformación rotacional.

— duffymo

11

Esta pregunta se publicó hace mucho tiempo, pero encontré una forma alternativa de responderla. Entonces decidí compartirlo aquí.
En primer lugar, uno debe saber que: si dos vectores son perpendiculares, su producto punto es igual a cero.
El vector normal (x',y')es perpendicular a la línea que conecta (x1,y1)y (x2,y2). Esta línea tiene dirección (x2-x1,y2-y1), o (dx,dy).
Entonces,

(x',y').(dx,dy) = 0
x'.dx + y'.dy = 0

Hay muchos pares (x ', y') que satisfacen la ecuación anterior. Pero el mejor par que SIEMPRE satisface es (dy,-dx)o(-dy,dx)

— Tu Bui
fuente

7

m1 = (y2 - y1) / (x2 - x1)

si perpendicular dos líneas:

m1*m2 = -1

luego

m2 = -1 / m1 //if (m1 == 0, then your line should have an equation like x = b)

y = m2*x + b //b is offset of new perpendicular line..

b es algo si quieres pasarlo desde un punto que definiste

— ufukgun
fuente