Respuestas:
Creo que en los viejos tiempos de repositorio de paquetes, se usaba .tgz porque los archivos en disquetes Dos solo podían tener extensiones de tres letras. Cuando se eliminó esta limitación, se utilizó .tar.gz para ser más detallado al mostrar tanto el tipo de archivo (tar) como la cremallera (gzip).
Son idénticos.
No hay ninguna diferencia. .tgzes simplemente una abreviatura de .tar.gz.
Una diferencia es que los navegadores parecen tener problemas con .tar.gz a veces, por ejemplo, al descargar un archivo de este tipo que ya existe localmente, puede suceder que lo renombren a .tar-1.gz, lo que generará problemas. con ciertos archivadores, principalmente en Windows y otros entornos que usan la terminación del nombre de archivo para la designación del tipo de archivo.
Esto no sucede con la terminación .tgz.