Invertir una matriz 4x4

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Estoy buscando una implementación de código de muestra sobre cómo invertir una matriz 4x4. Sé que hay eleminación gaussiana, descomposición de LU, etc., pero en lugar de mirarlos en detalle, en realidad solo estoy buscando el código para hacer esto.

En lenguaje idealmente C ++, los datos están disponibles en una matriz de 16 flotantes en orden de columna principal.

c++  algorithm  math  matrix  matrix-inverse 
— abrazadera
fuente
3
¿Es esta tarea? Si no es así (por ejemplo, está tratando de resolver Ax = b), entonces tratar de calcular explícitamente una inversa puede no ser lo que desea hacer.
— Tim Whitcomb
9
no es tarea. es para un proyecto personal. y no quiero "perder" tiempo aprendiendo la inversión de matriz para 4x4, que parece bastante complicado en comparación con 3x3
— pinza
10
No creo que esta sea una pregunta estúpida que merezca una puntuación de -1.
— stribika
3
si su matriz es de rotación / escalamiento / traducción, relacionada: stackoverflow.com/questions/155670/… & web.archive.org/web/20130806093214/http://…
también puede estar interesado en esto si desea un poco más de rendimiento lxjk.github.io/2017/09/03/… y no puede procesar varias matrices a la vez
— Sopel

Respuestas:

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aquí:

bool gluInvertMatrix(const double m[16], double invOut[16])
{
    double inv[16], det;
    int i;

    inv[0] = m[5]  * m[10] * m[15] - 
             m[5]  * m[11] * m[14] - 
             m[9]  * m[6]  * m[15] + 
             m[9]  * m[7]  * m[14] +
             m[13] * m[6]  * m[11] - 
             m[13] * m[7]  * m[10];

    inv[4] = -m[4]  * m[10] * m[15] + 
              m[4]  * m[11] * m[14] + 
              m[8]  * m[6]  * m[15] - 
              m[8]  * m[7]  * m[14] - 
              m[12] * m[6]  * m[11] + 
              m[12] * m[7]  * m[10];

    inv[8] = m[4]  * m[9] * m[15] - 
             m[4]  * m[11] * m[13] - 
             m[8]  * m[5] * m[15] + 
             m[8]  * m[7] * m[13] + 
             m[12] * m[5] * m[11] - 
             m[12] * m[7] * m[9];

    inv[12] = -m[4]  * m[9] * m[14] + 
               m[4]  * m[10] * m[13] +
               m[8]  * m[5] * m[14] - 
               m[8]  * m[6] * m[13] - 
               m[12] * m[5] * m[10] + 
               m[12] * m[6] * m[9];

    inv[1] = -m[1]  * m[10] * m[15] + 
              m[1]  * m[11] * m[14] + 
              m[9]  * m[2] * m[15] - 
              m[9]  * m[3] * m[14] - 
              m[13] * m[2] * m[11] + 
              m[13] * m[3] * m[10];

    inv[5] = m[0]  * m[10] * m[15] - 
             m[0]  * m[11] * m[14] - 
             m[8]  * m[2] * m[15] + 
             m[8]  * m[3] * m[14] + 
             m[12] * m[2] * m[11] - 
             m[12] * m[3] * m[10];

    inv[9] = -m[0]  * m[9] * m[15] + 
              m[0]  * m[11] * m[13] + 
              m[8]  * m[1] * m[15] - 
              m[8]  * m[3] * m[13] - 
              m[12] * m[1] * m[11] + 
              m[12] * m[3] * m[9];

    inv[13] = m[0]  * m[9] * m[14] - 
              m[0]  * m[10] * m[13] - 
              m[8]  * m[1] * m[14] + 
              m[8]  * m[2] * m[13] + 
              m[12] * m[1] * m[10] - 
              m[12] * m[2] * m[9];

    inv[2] = m[1]  * m[6] * m[15] - 
             m[1]  * m[7] * m[14] - 
             m[5]  * m[2] * m[15] + 
             m[5]  * m[3] * m[14] + 
             m[13] * m[2] * m[7] - 
             m[13] * m[3] * m[6];

    inv[6] = -m[0]  * m[6] * m[15] + 
              m[0]  * m[7] * m[14] + 
              m[4]  * m[2] * m[15] - 
              m[4]  * m[3] * m[14] - 
              m[12] * m[2] * m[7] + 
              m[12] * m[3] * m[6];

    inv[10] = m[0]  * m[5] * m[15] - 
              m[0]  * m[7] * m[13] - 
              m[4]  * m[1] * m[15] + 
              m[4]  * m[3] * m[13] + 
              m[12] * m[1] * m[7] - 
              m[12] * m[3] * m[5];

    inv[14] = -m[0]  * m[5] * m[14] + 
               m[0]  * m[6] * m[13] + 
               m[4]  * m[1] * m[14] - 
               m[4]  * m[2] * m[13] - 
               m[12] * m[1] * m[6] + 
               m[12] * m[2] * m[5];

    inv[3] = -m[1] * m[6] * m[11] + 
              m[1] * m[7] * m[10] + 
              m[5] * m[2] * m[11] - 
              m[5] * m[3] * m[10] - 
              m[9] * m[2] * m[7] + 
              m[9] * m[3] * m[6];

    inv[7] = m[0] * m[6] * m[11] - 
             m[0] * m[7] * m[10] - 
             m[4] * m[2] * m[11] + 
             m[4] * m[3] * m[10] + 
             m[8] * m[2] * m[7] - 
             m[8] * m[3] * m[6];

    inv[11] = -m[0] * m[5] * m[11] + 
               m[0] * m[7] * m[9] + 
               m[4] * m[1] * m[11] - 
               m[4] * m[3] * m[9] - 
               m[8] * m[1] * m[7] + 
               m[8] * m[3] * m[5];

    inv[15] = m[0] * m[5] * m[10] - 
              m[0] * m[6] * m[9] - 
              m[4] * m[1] * m[10] + 
              m[4] * m[2] * m[9] + 
              m[8] * m[1] * m[6] - 
              m[8] * m[2] * m[5];

    det = m[0] * inv[0] + m[1] * inv[4] + m[2] * inv[8] + m[3] * inv[12];

    if (det == 0)
        return false;

    det = 1.0 / det;

    for (i = 0; i < 16; i++)
        invOut[i] = inv[i] * det;

    return true;
}

Esto se eliminó de la implementación de MESA de la biblioteca GLU.

— shoosh
fuente
8
Probablemente no lo querrías de otra manera.
— shoosh
2
Sí, lo haría. Los compiladores son perfectamente capaces de desenrollar bucles, especialmente cuando se lo pides.
— Imagist
38
Lamentablemente, para empezar, ese código no es tan sencillo de hacer en bucle, y mucho menos de una manera que un compilador pueda desenrollar adecuadamente. Además, ese código proviene de una biblioteca C bastante antigua que tiene MUCHAS optimizaciones muy complicadas, y es un código que ya funciona (y ha sido probado y probado a fondo por miles de programas Linux OpenGL en este momento), así que ¿por qué reescribirlo?
— esponjoso
14
¿Es esto para matrices ordenadas de columna principal o fila principal?
— Zoomulator
34
Zoomulator: ¡Increíblemente es para ambos! Esto se debe a que inverso (transponer (A)) = transponer (inverso (A)).
— Timmmm
18

Si alguien busca un código más personalizado y "más fácil de leer", tengo este

var A2323 = m.m22 * m.m33 - m.m23 * m.m32 ;
var A1323 = m.m21 * m.m33 - m.m23 * m.m31 ;
var A1223 = m.m21 * m.m32 - m.m22 * m.m31 ;
var A0323 = m.m20 * m.m33 - m.m23 * m.m30 ;
var A0223 = m.m20 * m.m32 - m.m22 * m.m30 ;
var A0123 = m.m20 * m.m31 - m.m21 * m.m30 ;
var A2313 = m.m12 * m.m33 - m.m13 * m.m32 ;
var A1313 = m.m11 * m.m33 - m.m13 * m.m31 ;
var A1213 = m.m11 * m.m32 - m.m12 * m.m31 ;
var A2312 = m.m12 * m.m23 - m.m13 * m.m22 ;
var A1312 = m.m11 * m.m23 - m.m13 * m.m21 ;
var A1212 = m.m11 * m.m22 - m.m12 * m.m21 ;
var A0313 = m.m10 * m.m33 - m.m13 * m.m30 ;
var A0213 = m.m10 * m.m32 - m.m12 * m.m30 ;
var A0312 = m.m10 * m.m23 - m.m13 * m.m20 ;
var A0212 = m.m10 * m.m22 - m.m12 * m.m20 ;
var A0113 = m.m10 * m.m31 - m.m11 * m.m30 ;
var A0112 = m.m10 * m.m21 - m.m11 * m.m20 ;

var det = m.m00 * ( m.m11 * A2323 - m.m12 * A1323 + m.m13 * A1223 ) 
    - m.m01 * ( m.m10 * A2323 - m.m12 * A0323 + m.m13 * A0223 ) 
    + m.m02 * ( m.m10 * A1323 - m.m11 * A0323 + m.m13 * A0123 ) 
    - m.m03 * ( m.m10 * A1223 - m.m11 * A0223 + m.m12 * A0123 ) ;
det = 1 / det;

return new Matrix4x4() {
   m00 = det *   ( m.m11 * A2323 - m.m12 * A1323 + m.m13 * A1223 ),
   m01 = det * - ( m.m01 * A2323 - m.m02 * A1323 + m.m03 * A1223 ),
   m02 = det *   ( m.m01 * A2313 - m.m02 * A1313 + m.m03 * A1213 ),
   m03 = det * - ( m.m01 * A2312 - m.m02 * A1312 + m.m03 * A1212 ),
   m10 = det * - ( m.m10 * A2323 - m.m12 * A0323 + m.m13 * A0223 ),
   m11 = det *   ( m.m00 * A2323 - m.m02 * A0323 + m.m03 * A0223 ),
   m12 = det * - ( m.m00 * A2313 - m.m02 * A0313 + m.m03 * A0213 ),
   m13 = det *   ( m.m00 * A2312 - m.m02 * A0312 + m.m03 * A0212 ),
   m20 = det *   ( m.m10 * A1323 - m.m11 * A0323 + m.m13 * A0123 ),
   m21 = det * - ( m.m00 * A1323 - m.m01 * A0323 + m.m03 * A0123 ),
   m22 = det *   ( m.m00 * A1313 - m.m01 * A0313 + m.m03 * A0113 ),
   m23 = det * - ( m.m00 * A1312 - m.m01 * A0312 + m.m03 * A0112 ),
   m30 = det * - ( m.m10 * A1223 - m.m11 * A0223 + m.m12 * A0123 ),
   m31 = det *   ( m.m00 * A1223 - m.m01 * A0223 + m.m02 * A0123 ),
   m32 = det * - ( m.m00 * A1213 - m.m01 * A0213 + m.m02 * A0113 ),
   m33 = det *   ( m.m00 * A1212 - m.m01 * A0212 + m.m02 * A0112 ),
};

No escribo el código, pero mi programa lo hizo. Hice un pequeño programa para hacer un programa que calcule el determinante y el inverso de cualquier N-matriz.

Lo hago porque una vez en el pasado necesito un código que invierta la matriz 5x5, pero nadie en la tierra ha hecho esto, así que hice uno.

Eche un vistazo al programa aquí .

EDITAR: El diseño de la matriz es fila por fila (el significado m01está en la primera fila y en la segunda columna). Además, el lenguaje es C #, pero debería ser fácil de convertir a C.

— Willnode
fuente
3
116 multiplicaciones flotantes en comparación con 200 para la respuesta aceptada. (y verificación determinante antes de hacer la mayoría del cálculo)
— paddyg
2
Esta respuesta se siente como un regalo de Dios. Incluso usa la misma convención de nomenclatura para los elementos de la matriz que yo.
— Stuntddude
Muy buena respuesta, pero con respecto a esto "Necesito un código que invierta la matriz de 5x5, pero nadie en la tierra ha hecho esto" --- La razón de esto es probablemente, que es más barato usar un solucionador directo (Gauss, LU) que usar una fórmula basada en determinantes (¿regla de Cramers?).
— wychmaster
6

Si necesita una biblioteca de matrices C ++ con muchas funciones, eche un vistazo a la biblioteca Eigen: http://eigen.tuxfamily.org

6

"Desplegué" la implementación de MESA (también escribí un par de pruebas unitarias para asegurarme de que realmente funciona).

Aquí:

float invf(int i,int j,const float* m){

    int o = 2+(j-i);

    i += 4+o;
    j += 4-o;

    #define e(a,b) m[ ((j+b)%4)*4 + ((i+a)%4) ]

    float inv =
     + e(+1,-1)*e(+0,+0)*e(-1,+1)
     + e(+1,+1)*e(+0,-1)*e(-1,+0)
     + e(-1,-1)*e(+1,+0)*e(+0,+1)
     - e(-1,-1)*e(+0,+0)*e(+1,+1)
     - e(-1,+1)*e(+0,-1)*e(+1,+0)
     - e(+1,-1)*e(-1,+0)*e(+0,+1);

    return (o%2)?inv : -inv;

    #undef e

}

bool inverseMatrix4x4(const float *m, float *out)
{

    float inv[16];

    for(int i=0;i<4;i++)
        for(int j=0;j<4;j++)
            inv[j*4+i] = invf(i,j,m);

    double D = 0;

    for(int k=0;k<4;k++) D += m[k] * inv[k*4];

    if (D == 0) return false;

    D = 1.0 / D;

    for (int i = 0; i < 16; i++)
        out[i] = inv[i] * D;

    return true;

}

Escribí un poco sobre esto y muestro el patrón de factores positivos / negativos en mi blog .

Como sugirió @LiraNuna, en muchas plataformas hay disponibles versiones aceleradas por hardware de tales rutinas, así que estoy feliz de tener una 'versión de respaldo' que sea legible y concisa.

Nota : esto puede funcionar 3,5 veces más lento o peor que la implementación de MESA. Puede cambiar el patrón de factores para eliminar algunas adiciones, etc. pero perdería legibilidad y aún así no será muy rápido.

1

Aquí hay una pequeña biblioteca de matemáticas vectoriales C ++ (solo un encabezado) (orientada a la programación 3D). Si lo usa, tenga en cuenta que el diseño de sus matrices en la memoria está invertido en comparación con lo que espera OpenGL, me divertí mucho descubriéndolo ...

— Eugenio
fuente
1

Inspirado por @shoosh para ver las implementaciones de MESA, descubrí que la inversión de matriz se ve bastante diferente en las versiones de mesa más recientes. Supongo que son buenas mejoras. Aquí está el código de inversión de matriz de Mesa-17.3.9 :

/* Returns true for success, false for failure (singular matrix) */
bool DirectVolumeRenderer::_mesa_invert_matrix_general( GLfloat out[16], const GLfloat in[16] )
{
    /**
     * References an element of 4x4 matrix.
     * Calculate the linear storage index of the element and references it. 
     */
    #define MAT(m,r,c) (m)[(c)*4+(r)]
    /**
     * Swaps the values of two floating point variables.
     */
    #define SWAP_ROWS(a, b) { GLfloat *_tmp = a; (a)=(b); (b)=_tmp; }

    const GLfloat *m = in;
    GLfloat wtmp[4][8];
    GLfloat m0, m1, m2, m3, s;
    GLfloat *r0, *r1, *r2, *r3;

    r0 = wtmp[0], r1 = wtmp[1], r2 = wtmp[2], r3 = wtmp[3];

    r0[0] = MAT(m,0,0), r0[1] = MAT(m,0,1),
    r0[2] = MAT(m,0,2), r0[3] = MAT(m,0,3),
    r0[4] = 1.0, r0[5] = r0[6] = r0[7] = 0.0,

    r1[0] = MAT(m,1,0), r1[1] = MAT(m,1,1),
    r1[2] = MAT(m,1,2), r1[3] = MAT(m,1,3),
    r1[5] = 1.0, r1[4] = r1[6] = r1[7] = 0.0,

    r2[0] = MAT(m,2,0), r2[1] = MAT(m,2,1),
    r2[2] = MAT(m,2,2), r2[3] = MAT(m,2,3),
    r2[6] = 1.0, r2[4] = r2[5] = r2[7] = 0.0,

    r3[0] = MAT(m,3,0), r3[1] = MAT(m,3,1),
    r3[2] = MAT(m,3,2), r3[3] = MAT(m,3,3),
    r3[7] = 1.0, r3[4] = r3[5] = r3[6] = 0.0;

    /* choose pivot - or die */
    if (fabsf(r3[0])>fabsf(r2[0])) SWAP_ROWS(r3, r2);
    if (fabsf(r2[0])>fabsf(r1[0])) SWAP_ROWS(r2, r1);
    if (fabsf(r1[0])>fabsf(r0[0])) SWAP_ROWS(r1, r0);
    if (0.0F == r0[0])
        return false;

    /* eliminate first variable     */
    m1 = r1[0]/r0[0]; m2 = r2[0]/r0[0]; m3 = r3[0]/r0[0];
    s = r0[1]; r1[1] -= m1 * s; r2[1] -= m2 * s; r3[1] -= m3 * s;
    s = r0[2]; r1[2] -= m1 * s; r2[2] -= m2 * s; r3[2] -= m3 * s;
    s = r0[3]; r1[3] -= m1 * s; r2[3] -= m2 * s; r3[3] -= m3 * s;
    s = r0[4];
    if (s != 0.0F) { r1[4] -= m1 * s; r2[4] -= m2 * s; r3[4] -= m3 * s; }
    s = r0[5];
    if (s != 0.0F) { r1[5] -= m1 * s; r2[5] -= m2 * s; r3[5] -= m3 * s; }
    s = r0[6];
    if (s != 0.0F) { r1[6] -= m1 * s; r2[6] -= m2 * s; r3[6] -= m3 * s; }
    s = r0[7];
    if (s != 0.0F) { r1[7] -= m1 * s; r2[7] -= m2 * s; r3[7] -= m3 * s; }

    /* choose pivot - or die */
    if (fabsf(r3[1])>fabsf(r2[1])) SWAP_ROWS(r3, r2);
    if (fabsf(r2[1])>fabsf(r1[1])) SWAP_ROWS(r2, r1);
    if (0.0F == r1[1])
        return false;

    /* eliminate second variable */
    m2 = r2[1]/r1[1]; m3 = r3[1]/r1[1];
    r2[2] -= m2 * r1[2]; r3[2] -= m3 * r1[2];
    r2[3] -= m2 * r1[3]; r3[3] -= m3 * r1[3];
    s = r1[4]; if (0.0F != s) { r2[4] -= m2 * s; r3[4] -= m3 * s; }
    s = r1[5]; if (0.0F != s) { r2[5] -= m2 * s; r3[5] -= m3 * s; }
    s = r1[6]; if (0.0F != s) { r2[6] -= m2 * s; r3[6] -= m3 * s; }
    s = r1[7]; if (0.0F != s) { r2[7] -= m2 * s; r3[7] -= m3 * s; }

    /* choose pivot - or die */
    if (fabsf(r3[2])>fabsf(r2[2])) SWAP_ROWS(r3, r2);
    if (0.0F == r2[2])
        return false;

    /* eliminate third variable */
    m3 = r3[2]/r2[2];
    r3[3] -= m3 * r2[3], r3[4] -= m3 * r2[4],
    r3[5] -= m3 * r2[5], r3[6] -= m3 * r2[6],
    r3[7] -= m3 * r2[7];

    /* last check */
    if (0.0F == r3[3])
        return false;

    s = 1.0F/r3[3];             /* now back substitute row 3 */
    r3[4] *= s; r3[5] *= s; r3[6] *= s; r3[7] *= s;

    m2 = r2[3];                 /* now back substitute row 2 */
    s  = 1.0F/r2[2];
    r2[4] = s * (r2[4] - r3[4] * m2), r2[5] = s * (r2[5] - r3[5] * m2),
    r2[6] = s * (r2[6] - r3[6] * m2), r2[7] = s * (r2[7] - r3[7] * m2);
    m1 = r1[3];
    r1[4] -= r3[4] * m1, r1[5] -= r3[5] * m1,
    r1[6] -= r3[6] * m1, r1[7] -= r3[7] * m1;
    m0 = r0[3];
    r0[4] -= r3[4] * m0, r0[5] -= r3[5] * m0,
    r0[6] -= r3[6] * m0, r0[7] -= r3[7] * m0;

    m1 = r1[2];                 /* now back substitute row 1 */
    s  = 1.0F/r1[1];
    r1[4] = s * (r1[4] - r2[4] * m1), r1[5] = s * (r1[5] - r2[5] * m1),
    r1[6] = s * (r1[6] - r2[6] * m1), r1[7] = s * (r1[7] - r2[7] * m1);
    m0 = r0[2];
    r0[4] -= r2[4] * m0, r0[5] -= r2[5] * m0,
    r0[6] -= r2[6] * m0, r0[7] -= r2[7] * m0;

    m0 = r0[1];                 /* now back substitute row 0 */
    s  = 1.0F/r0[0];
    r0[4] = s * (r0[4] - r1[4] * m0), r0[5] = s * (r0[5] - r1[5] * m0),
    r0[6] = s * (r0[6] - r1[6] * m0), r0[7] = s * (r0[7] - r1[7] * m0);

    MAT(out,0,0) = r0[4]; MAT(out,0,1) = r0[5],
    MAT(out,0,2) = r0[6]; MAT(out,0,3) = r0[7],
    MAT(out,1,0) = r1[4]; MAT(out,1,1) = r1[5],
    MAT(out,1,2) = r1[6]; MAT(out,1,3) = r1[7],
    MAT(out,2,0) = r2[4]; MAT(out,2,1) = r2[5],
    MAT(out,2,2) = r2[6]; MAT(out,2,3) = r2[7],
    MAT(out,3,0) = r3[4]; MAT(out,3,1) = r3[5],
    MAT(out,3,2) = r3[6]; MAT(out,3,3) = r3[7];

    #undef SWAP_ROWS
    #undef MAT

    return true;
}

Nota: se puede encontrar esta pieza de código en el código base de mesa: mesa-17.3.9/src/mesa/math/m_matrix.c.

— Samuel Li
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Esta es la versión C ++ para la respuesta de @ willnode

static inline void InvertMatrix4(const Matrix& m, Matrix& im, double& det)
{
    double A2323 = m(2, 2) * m(3, 3) - m(2, 3) * m(3, 2);
    double A1323 = m(2, 1) * m(3, 3) - m(2, 3) * m(3, 1);
    double A1223 = m(2, 1) * m(3, 2) - m(2, 2) * m(3, 1);
    double A0323 = m(2, 0) * m(3, 3) - m(2, 3) * m(3, 0);
    double A0223 = m(2, 0) * m(3, 2) - m(2, 2) * m(3, 0);
    double A0123 = m(2, 0) * m(3, 1) - m(2, 1) * m(3, 0);
    double A2313 = m(1, 2) * m(3, 3) - m(1, 3) * m(3, 2);
    double A1313 = m(1, 1) * m(3, 3) - m(1, 3) * m(3, 1);
    double A1213 = m(1, 1) * m(3, 2) - m(1, 2) * m(3, 1);
    double A2312 = m(1, 2) * m(2, 3) - m(1, 3) * m(2, 2);
    double A1312 = m(1, 1) * m(2, 3) - m(1, 3) * m(2, 1);
    double A1212 = m(1, 1) * m(2, 2) - m(1, 2) * m(2, 1);
    double A0313 = m(1, 0) * m(3, 3) - m(1, 3) * m(3, 0);
    double A0213 = m(1, 0) * m(3, 2) - m(1, 2) * m(3, 0);
    double A0312 = m(1, 0) * m(2, 3) - m(1, 3) * m(2, 0);
    double A0212 = m(1, 0) * m(2, 2) - m(1, 2) * m(2, 0);
    double A0113 = m(1, 0) * m(3, 1) - m(1, 1) * m(3, 0);
    double A0112 = m(1, 0) * m(2, 1) - m(1, 1) * m(2, 0);

    det = m(0, 0) * ( m(1, 1) * A2323 - m(1, 2) * A1323 + m(1, 3) * A1223 )
        - m(0, 1) * ( m(1, 0) * A2323 - m(1, 2) * A0323 + m(1, 3) * A0223 )
        + m(0, 2) * ( m(1, 0) * A1323 - m(1, 1) * A0323 + m(1, 3) * A0123 )
        - m(0, 3) * ( m(1, 0) * A1223 - m(1, 1) * A0223 + m(1, 2) * A0123 );
    det = 1 / det;

    im(0, 0) = det *   ( m(1, 1) * A2323 - m(1, 2) * A1323 + m(1, 3) * A1223 );
    im(0, 1) = det * - ( m(0, 1) * A2323 - m(0, 2) * A1323 + m(0, 3) * A1223 );
    im(0, 2) = det *   ( m(0, 1) * A2313 - m(0, 2) * A1313 + m(0, 3) * A1213 );
    im(0, 3) = det * - ( m(0, 1) * A2312 - m(0, 2) * A1312 + m(0, 3) * A1212 );
    im(1, 0) = det * - ( m(1, 0) * A2323 - m(1, 2) * A0323 + m(1, 3) * A0223 );
    im(1, 1) = det *   ( m(0, 0) * A2323 - m(0, 2) * A0323 + m(0, 3) * A0223 );
    im(1, 2) = det * - ( m(0, 0) * A2313 - m(0, 2) * A0313 + m(0, 3) * A0213 );
    im(1, 3) = det *   ( m(0, 0) * A2312 - m(0, 2) * A0312 + m(0, 3) * A0212 );
    im(2, 0) = det *   ( m(1, 0) * A1323 - m(1, 1) * A0323 + m(1, 3) * A0123 );
    im(2, 1) = det * - ( m(0, 0) * A1323 - m(0, 1) * A0323 + m(0, 3) * A0123 );
    im(2, 2) = det *   ( m(0, 0) * A1313 - m(0, 1) * A0313 + m(0, 3) * A0113 );
    im(2, 3) = det * - ( m(0, 0) * A1312 - m(0, 1) * A0312 + m(0, 3) * A0112 );
    im(3, 0) = det * - ( m(1, 0) * A1223 - m(1, 1) * A0223 + m(1, 2) * A0123 );
    im(3, 1) = det *   ( m(0, 0) * A1223 - m(0, 1) * A0223 + m(0, 2) * A0123 );
    im(3, 2) = det * - ( m(0, 0) * A1213 - m(0, 1) * A0213 + m(0, 2) * A0113 );
    im(3, 3) = det *   ( m(0, 0) * A1212 - m(0, 1) * A0212 + m(0, 2) * A0112 );
}
— kstn
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Puedes hacerlo más rápido según este blog .

#define SUBP(i,j) input[i][j]
#define SUBQ(i,j) input[i][2+j]
#define SUBR(i,j) input[2+i][j]
#define SUBS(i,j) input[2+i][2+j]

#define OUTP(i,j) output[i][j]
#define OUTQ(i,j) output[i][2+j]
#define OUTR(i,j) output[2+i][j]
#define OUTS(i,j) output[2+i][2+j]

#define INVP(i,j) invP[i][j]
#define INVPQ(i,j) invPQ[i][j]
#define RINVP(i,j) RinvP[i][j]
#define INVPQ(i,j) invPQ[i][j]
#define RINVPQ(i,j) RinvPQ[i][j]
#define INVPQR(i,j) invPQR[i][j]
#define INVS(i,j) invS[i][j]

#define MULTI(MAT1, MAT2, MAT3) \
    MAT3(0,0)=MAT1(0,0)*MAT2(0,0) + MAT1(0,1)*MAT2(1,0); \
MAT3(0,1)=MAT1(0,0)*MAT2(0,1) + MAT1(0,1)*MAT2(1,1); \
MAT3(1,0)=MAT1(1,0)*MAT2(0,0) + MAT1(1,1)*MAT2(1,0); \
MAT3(1,1)=MAT1(1,0)*MAT2(0,1) + MAT1(1,1)*MAT2(1,1);

#define INV(MAT1, MAT2) \
    _det = 1.0 / (MAT1(0,0) * MAT1(1,1) - MAT1(0,1) * MAT1(1,0)); \
MAT2(0,0) = MAT1(1,1) * _det; \
MAT2(1,1) = MAT1(0,0) * _det; \
MAT2(0,1) = -MAT1(0,1) * _det; \
MAT2(1,0) = -MAT1(1,0) * _det; \

#define SUBTRACT(MAT1, MAT2, MAT3) \
    MAT3(0,0)=MAT1(0,0) - MAT2(0,0); \
MAT3(0,1)=MAT1(0,1) - MAT2(0,1); \
MAT3(1,0)=MAT1(1,0) - MAT2(1,0); \
MAT3(1,1)=MAT1(1,1) - MAT2(1,1);

#define NEGATIVE(MAT) \
    MAT(0,0)=-MAT(0,0); \
MAT(0,1)=-MAT(0,1); \
MAT(1,0)=-MAT(1,0); \
MAT(1,1)=-MAT(1,1);


void getInvertMatrix(complex<double> input[4][4], complex<double> output[4][4]) {
    complex<double> _det;
    complex<double> invP[2][2];
    complex<double> invPQ[2][2];
    complex<double> RinvP[2][2];
    complex<double> RinvPQ[2][2];
    complex<double> invPQR[2][2];
    complex<double> invS[2][2];


    INV(SUBP, INVP);
    MULTI(SUBR, INVP, RINVP);
    MULTI(INVP, SUBQ, INVPQ);
    MULTI(RINVP, SUBQ, RINVPQ);
    SUBTRACT(SUBS, RINVPQ, INVS);
    INV(INVS, OUTS);
    NEGATIVE(OUTS);
    MULTI(OUTS, RINVP, OUTR);
    MULTI(INVPQ, OUTS, OUTQ);
    MULTI(INVPQ, OUTR, INVPQR);
    SUBTRACT(INVP, INVPQR, OUTP);
}

Esta no es una implementación completa porque P puede no ser invertible, pero puede combinar este código con la implementación de MESA para obtener un mejor rendimiento.

— Cauchy Schwarz
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Si desea calcular la matriz inversa de la matriz 4x4, le recomiendo usar una biblioteca como OpenGL Mathematics (GLM) :

De todos modos, puedes hacerlo desde cero. La siguiente implementación es similar a la implementación de glm::inverse, pero no está tan optimizada:

bool InverseMat44( const GLfloat m[16], GLfloat invOut[16] )
{
    float inv[16], det;
    int i;

    inv[0]  =  m[5] * m[10] * m[15] - m[5] * m[11] * m[14] - m[9] * m[6] * m[15] + m[9] * m[7] * m[14] + m[13] * m[6] * m[11] - m[13] * m[7] * m[10];
    inv[4]  = -m[4] * m[10] * m[15] + m[4] * m[11] * m[14] + m[8] * m[6] * m[15] - m[8] * m[7] * m[14] - m[12] * m[6] * m[11] + m[12] * m[7] * m[10];
    inv[8]  =  m[4] * m[9]  * m[15] - m[4] * m[11] * m[13] - m[8] * m[5] * m[15] + m[8] * m[7] * m[13] + m[12] * m[5] * m[11] - m[12] * m[7] * m[9];
    inv[12] = -m[4] * m[9]  * m[14] + m[4] * m[10] * m[13] + m[8] * m[5] * m[14] - m[8] * m[6] * m[13] - m[12] * m[5] * m[10] + m[12] * m[6] * m[9];
    inv[1]  = -m[1] * m[10] * m[15] + m[1] * m[11] * m[14] + m[9] * m[2] * m[15] - m[9] * m[3] * m[14] - m[13] * m[2] * m[11] + m[13] * m[3] * m[10];
    inv[5]  =  m[0] * m[10] * m[15] - m[0] * m[11] * m[14] - m[8] * m[2] * m[15] + m[8] * m[3] * m[14] + m[12] * m[2] * m[11] - m[12] * m[3] * m[10];
    inv[9]  = -m[0] * m[9]  * m[15] + m[0] * m[11] * m[13] + m[8] * m[1] * m[15] - m[8] * m[3] * m[13] - m[12] * m[1] * m[11] + m[12] * m[3] * m[9];
    inv[13] =  m[0] * m[9]  * m[14] - m[0] * m[10] * m[13] - m[8] * m[1] * m[14] + m[8] * m[2] * m[13] + m[12] * m[1] * m[10] - m[12] * m[2] * m[9];
    inv[2]  =  m[1] * m[6]  * m[15] - m[1] * m[7]  * m[14] - m[5] * m[2] * m[15] + m[5] * m[3] * m[14] + m[13] * m[2] * m[7]  - m[13] * m[3] * m[6];
    inv[6]  = -m[0] * m[6]  * m[15] + m[0] * m[7]  * m[14] + m[4] * m[2] * m[15] - m[4] * m[3] * m[14] - m[12] * m[2] * m[7]  + m[12] * m[3] * m[6];
    inv[10] =  m[0] * m[5]  * m[15] - m[0] * m[7]  * m[13] - m[4] * m[1] * m[15] + m[4] * m[3] * m[13] + m[12] * m[1] * m[7]  - m[12] * m[3] * m[5];
    inv[14] = -m[0] * m[5]  * m[14] + m[0] * m[6]  * m[13] + m[4] * m[1] * m[14] - m[4] * m[2] * m[13] - m[12] * m[1] * m[6]  + m[12] * m[2] * m[5];
    inv[3]  = -m[1] * m[6]  * m[11] + m[1] * m[7]  * m[10] + m[5] * m[2] * m[11] - m[5] * m[3] * m[10] - m[9]  * m[2] * m[7]  + m[9]  * m[3] * m[6];
    inv[7]  =  m[0] * m[6]  * m[11] - m[0] * m[7]  * m[10] - m[4] * m[2] * m[11] + m[4] * m[3] * m[10] + m[8]  * m[2] * m[7]  - m[8]  * m[3] * m[6];
    inv[11] = -m[0] * m[5]  * m[11] + m[0] * m[7]  * m[9]  + m[4] * m[1] * m[11] - m[4] * m[3] * m[9]  - m[8]  * m[1] * m[7]  + m[8]  * m[3] * m[5];
    inv[15] =  m[0] * m[5]  * m[10] - m[0] * m[6]  * m[9]  - m[4] * m[1] * m[10] + m[4] * m[2] * m[9]  + m[8]  * m[1] * m[6]  - m[8]  * m[2] * m[5];

    det = m[0] * inv[0] + m[1] * inv[4] + m[2] * inv[8] + m[3] * inv[12];
    if (det == 0) return false;
    det = 1.0 / det;

    for (i = 0; i < 16; i++)
        invOut[i] = inv[i] * det;

    return true;
}
— Rabbid76
fuente
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