¿Por qué la complejidad temporal de DFS y BFS O (V + E)


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El algoritmo básico para BFS:

set start vertex to visited

load it into queue

while queue not empty

   for each edge incident to vertex

        if its not visited

            load into queue

            mark vertex

Entonces pensaría que la complejidad del tiempo sería:

v1 + (incident edges) + v2 + (incident edges) + .... + vn + (incident edges) 

donde ves el vértice 1den

En primer lugar, ¿es correcto lo que he dicho? En segundo lugar, cómo es esto O(N + E), y la intuición de por qué sería realmente agradable. Gracias

Respuestas:


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Su suma

v1 + (incident edges) + v2 + (incident edges) + .... + vn + (incident edges)

puede reescribirse como

(v1 + v2 + ... + vn) + [(incident_edges v1) + (incident_edges v2) + ... + (incident_edges vn)]

y el primer grupo es O(N)mientras que el otro es O(E).


1
Pero cada vértice debe extraerse de la cola, y esto es log (| Q |) ¿Qué pasa con esta parte?
Yola

3
log (| Q |) <log (N) <N por lo tanto, puede ignorar con seguridad el término en el asintótico
Mihai Maruseac

2
Si en una lista de adyacencia, cada vértice está conectado a todos los otros vértices, la complejidad sería equivalente a O (V + E) = O (V + V ^ 2) = O (V ^ 2). E = V ^ 2 porque la mayor cantidad de aristas = V ^ 2.
Max

Según su respuesta, ¿la complejidad no se convertirá en O (V + 2E)? ¿Ya que cada borde podría tener un borde común con otro borde?
karansky

2
Los términos constantes pueden descartarse.
Mihai Maruseac

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DFS (análisis):

  • Establecer / obtener una etiqueta de vértice / borde lleva O(1)tiempo
  • Cada vértice está etiquetado dos veces
    • una vez como SIN EXPLORAR
    • una vez como VISITADO
  • Cada borde se etiqueta dos veces
    • una vez como SIN EXPLORAR
    • una vez como DESCUBRIMIENTO o ATRÁS
  • El método incidenteEdges se llama una vez para cada vértice
  • DFS se ejecuta a O(n + m)tiempo siempre que el gráfico esté representado por la estructura de la lista de adyacencia
  • Recordar que Σv deg(v) = 2m

BFS (análisis):

  • Establecer / obtener una etiqueta de vértice / borde toma O (1) tiempo
  • Cada vértice está etiquetado dos veces
    • una vez como SIN EXPLORAR
    • una vez como VISITADO
  • Cada borde se etiqueta dos veces
    • una vez como SIN EXPLORAR
    • una vez como DESCUBRIMIENTO o CRUZ
  • Cada vértice se inserta una vez en una secuencia Li
  • El método incidenteEdges se llama una vez para cada vértice
  • BFS se ejecuta a O(n + m)tiempo siempre que el gráfico esté representado por la estructura de la lista de adyacencia
  • Recordar que Σv deg(v) = 2m

tnx para la edición, soy nuevo aquí, así que todavía trato de administrar con la pantalla de edición :)
TheNewOne

1
gracias por ser específico al mencionar que los gráficos deben estar representados por la estructura de la lista de adyacencia, me estaba molestando por qué DFS es O (n + m), creo que era O (n + 2m) porque cada borde se atraviesa dos veces por retroceder.
mib1413456

22

Muy simplificado sin mucha formalidad: cada borde se considera exactamente dos veces, y cada nodo se procesa exactamente una vez, por lo que la complejidad tiene que ser un múltiplo constante del número de bordes y el número de vértices.


Mucho más fácil de entender que la notación matemática sin más explicaciones, aunque para eso es Google.
mLstudent33

11

La complejidad del tiempo es en O(E+V)lugar de O(2E+V)porque si la complejidad del tiempo es n ^ 2 + 2n + 7, entonces se escribe como O (n ^ 2).

Por lo tanto, O (2E + V) se escribe como O (E + V)

porque la diferencia entre n ^ 2 yn importa pero no entre n y 2n.


@Am_I_Helpful alguien está pidiendo más arriba 2E en notación big-oh ... por eso 2 no se considera en complejidad de tiempo.
Dhruvam Gupta

@Am_I_Helpful solo vea la publicación arriba de mi respuesta ... allí el usuario llamado Kehe CAI ha escrito "Creo que cada borde se ha considerado dos veces y cada nodo se ha visitado una vez, por lo que la complejidad del tiempo total debe ser O (2E + V ) ". Así que respondí de acuerdo ... ¡Lo tengo!
Dhruvam Gupta

Eliminé mi voto negativo solo porque
editaste

3

Creo que cada borde se ha considerado dos veces y cada nodo se ha visitado una vez, por lo que la complejidad del tiempo total debería ser O (2E + V).


Incluso yo siento lo mismo. ¿Alguien puede dar más explicaciones sobre esto?
Chaitanya

12
El análisis Big O ignora la constante. O (2E + V) es O (E + V).
Hemm

3

Una explicación intuitiva para esto es simplemente analizando un solo bucle:

  1. visitar un vértice -> O (1)
  2. un bucle for en todos los bordes incidentes -> O (e) donde e es un número de bordes incidentes en un vértice dado v.

Entonces, el tiempo total para un solo ciclo es O (1) + O (e). Ahora suméelo para cada vértice ya que cada vértice se visita una vez. Esto da

For every V
=> 

    O(1)
    +

    O(e)

=> O(V) + O(E)

2

Breve pero simple explicación:

En el peor de los casos, necesitaría visitar todos los vértices y bordes, por lo tanto, la complejidad del tiempo en el peor de los casos es O (V + E)

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