¿Este código siempre se evalúa como falso? Ambas variables son complementos firmados por dos.

~x + ~y == ~(x + y)

Siento que debería haber algún número que satisfaga las condiciones. Traté de probar los números entre -5000y 5000nunca logré la igualdad. ¿Hay alguna manera de establecer una ecuación para encontrar las soluciones a la condición?

¿Cambiar uno por el otro causará un error insidioso en mi programa?

Supongamos, en aras de la contradicción, que existe algo xy algo y(mod 2 ⁿ ) tal que

~(x+y) == ~x + ~y

Por el complemento a dos *, sabemos que,

      -x == ~x + 1
<==>  -1 == ~x + x

Observando este resultado, tenemos,

      ~(x+y) == ~x + ~y
<==>  ~(x+y) + (x+y) == ~x + ~y + (x+y)
<==>  ~(x+y) + (x+y) == (~x + x) + (~y + y)
<==>  ~(x+y) + (x+y) == -1 + -1
<==>  ~(x+y) + (x+y) == -2
<==>  -1 == -2

Por lo tanto, una contradicción. Por lo tanto, ~(x+y) != ~x + ~ypara todos xy y(mod 2 ⁿ ).

^{* Es interesante notar que en una máquina con aritmética complementaria, la igualdad es válida para todos xy y. Esto es debido a que bajo de un complemento, ~x = -x. Por lo tanto, ~x + ~y == -x + -y == -(x+y) == ~(x+y).}

Complemento de dos

En la gran mayoría de las computadoras, si xes un número entero, entonces -xse representa como ~x + 1. De manera equivalente, ~x == -(x + 1). Hacer esta sustitución en su ecuación da:

• ~ x + ~ y == ~ (x + y)
• - (x + 1) + - (y + 1) = - ((x + y) + 1)
• -x - y - 2 = -x - y - 1
• -2 = -1

lo cual es una contradicción, por ~x + ~y == ~(x + y)lo que siempre es falso .

Dicho esto, los pedantes señalarán que C no requiere el complemento de dos, por lo que también debemos considerar ...

Complemento de uno

En el complemento de uno , -xsimplemente se representa como ~x. Cero es un caso especial, que tiene representaciones de todo-0 ( +0) y todo-1 ( -0), pero IIRC, C requiere +0 == -0incluso si tienen patrones de bits diferentes, por lo que esto no debería ser un problema. Solo sustitúyalo ~por -.

• ~ x + ~ y == ~ (x + y)
• -x + (-y) = - (x + y)

lo cual es cierto para todos xy y.

Considere solo el bit más a la derecha de ambos xy y(IE. Si x == 13está 1101en la base 2, solo veremos el último bit, a 1) Luego hay cuatro casos posibles:

x = 0, y = 0:

LHS: ~ 0 + ~ 0 => 1 + 1 => 10
RHS: ~ (0 + 0) => ~ 0 => 1

x = 0, y = 1:

LHS: ~ 0 + ~ 1 => 1 + 0 => 1
RHS: ~ (0 + 1) => ~ 1 => 0

x = 1, y = 0:

Voy a dejar esto en manos de usted ya que esto es tarea (pista: es lo mismo que el anterior con x e y intercambiados).

x = 1, y = 1:

Te dejaré esto a ti también.

Puede mostrar que el bit más a la derecha siempre será diferente en el lado izquierdo y en el lado derecho de la ecuación dada cualquier entrada posible, por lo que ha demostrado que ambos lados no son iguales, ya que tienen al menos ese bit invertido de cada uno.

Si el número de bits es n

~x = (2^n - 1) - x
~y = (2^n - 1) - y


~x + ~y = (2^n - 1) +(2^n - 1) - x - y =>  (2^n + (2^n - 1) - x - y ) - 1 => modulo: (2^n - 1) - x - y - 1.

Ahora,

 ~(x + y) = (2^n - 1) - (x + y) = (2^n - 1) - x - y.

Por lo tanto, siempre serán desiguales, con una diferencia de 1.

Insinuación:

x + ~x = -1(mod 2 ⁿ )

Asumiendo que el objetivo de la pregunta es probar sus matemáticas (en lugar de sus habilidades de leer las especificaciones C), esto debería llevarlo a la respuesta.

En el complemento de uno y dos (e incluso en 42), esto se puede probar:

~x + ~y == ~(x + a) + ~(y - a)

Ahora deja a = yy tenemos:

~x + ~y == ~(x + y) + ~(y - y)

o:

~x + ~y == ~(x + y) + ~0

Por lo tanto, en el complemento a dos ~0 = -1, la proposición es falsa.

En complemento a eso ~0 = 0, la proposición es verdadera.

Según el libro de Dennis Ritchie, C no implementa el complemento de dos por defecto. Por lo tanto, su pregunta puede no ser siempre cierta.

Dejar MAX_INTser el int representado por 011111...111(por muchos bits que haya). Entonces lo sabrás ~x + x = MAX_INTy ~y + y = MAX_INT, por lo tanto, sabrás con certeza que la diferencia entre ~x + ~yy ~(x + y)es 1.

C no requiere que el complemento a dos sea lo que se implementa. Sin embargo, para enteros sin signo se aplican lógicas similares. ¡Las diferencias siempre serán 1 bajo esta lógica!

Por supuesto, C no requiere este comportamiento porque no requiere la representación del complemento de dos. Por ejemplo, ~x = (2^n - 1) - x& ~y = (2^n - 1) - yobtendrá este resultado.

¡Ah, matemática discreta fundamental!

Echa un vistazo a la ley de De Morgan

~x & ~y == ~(x | y)

~x | ~y == ~(x & y)

¡Muy importante para las pruebas booleanas!