Esta no es una respuesta verdadera, sino una expansión en el cálculo de patrones de difracción a partir de la respuesta de @ whuber .
Primero, tenemos la integral de difracción. La función U p describe la amplitud compleja en el plano de observación a una distancia ( x p , y p ) del eje óptico y una distancia L z de la fuente (algún tipo de objeto difractivo, por ejemplo, agujero de alfiler, apertura de cámara, etc. ) U s es una función que describe la amplitud compleja en el plano fuente; para un pinhole extremadamente pequeño, podría usar una función dirac delta . La tercera variable en U s es 0 porque, por conveniencia, decimos que el objeto difractivo es el origen del sistema de coordenadas. Las variables x se y s en sus argumentos mantiene el hecho de que el objeto puede tener algún tamaño en el plano x – y .
Puede que esto no se vea como una integral tan horrible, pero k y r sp son ambas notaciones para algo más grande:
Integrar una función con un radical con términos cuadrados tanto en el numerador de e como en el denominador es una integral muy desagradable.
Uno simplifica la integral al eliminar las raíces cuadradas utilizando la representación de la serie binomial y truncando los términos de orden superior. La integral Fraunhofer se cumple cuando uno necesita 2 términos; la integral de Fresnel es para cuando uno necesita 3 términos. Hay algo de nuanuce en la prueba de eso, pero está fuera del alcance de esto.
Cuando comenzamos a manipular estas cosas para obtener las integrales de difracción de Fresnel y Fraunhofer, obtenemos tres cantidades.
Si Nfd * ( θ d ) 2 << 1, la integral de Fresnel es válida. Si eso es cierto y Nfs << 1, la integral Fraunhofer es válida.
Las dos integrales son:
Fresnel:
Fraunhofer:
dónde
,
y ν x y ν y son el tamaño de la fuente en una dimensión dada dividida por la longitud de onda de la luz multiplicada por la distancia a la fuente. Normalmente se escribiría ν s = d / ( λx s ).
Para responder a la pregunta de @ whuber sobre por qué puede necesitar uno u otro, a pesar de lo que dice Wikipedia, requiere un poco de reflexión.
El comentario "en el plano focal de una lente de imagen ..." probablemente se extrae de un libro de texto, y la implicación es que la fuente de la difracción (es decir, el orificio, la hendidura, lo que sea) estas ecuaciones son agnósticas en cuanto a la geometría de la fuente) está muy lejos. Desafortunadamente, la lente no solo podría estar a una distancia y más cerca de lo que permite la integral Fraunhofer, sino que la difracción también se origina dentro del sistema de lentes para una cámara.
El modelo correcto para la difracción de la apertura de una cámara es una apertura de n lados ( n es el número de hojas de apertura en la lente) iluminada por una fuente puntual en la ubicación de la cosa en la imagen que produce el patrón de estallido estelar.
Cuando los objetos están muy lejos (unos pocos metros estarían bien), las fuentes puntuales se comportan como si fueran ondas planas y las derivaciones realizadas en Wikipedia están bien.
Por ejemplo, la apertura para una lente doble gauss de 50 mm es del orden de 40 ~ 60 mm desde el plano de la imagen. Es fotografiada por un par de lentes detrás del tope físico a una distancia mayor que esa (esta es la ubicación de la pupila de salida), pero la pupila de salida no está donde está la función U s ( x s , y s , 0) ¡centrado!
Para una luz de apertura de 500 nm y un radio de 1 mm, podemos verificar si la integral Fraunhofer es válida. Es igual a (0.001) 2 / (500 * 10 -9 * 50 * 10 -3 ), o 40, que es >> 1 y la integral Fraunhofer no es válida. Para luz visible, siempre que el tope de apertura sea del orden de milímetros del detector, Nfs nunca estará cerca de 1, y mucho menos será mucho más pequeño.
Estas ecuaciones pueden diferir algo de las de Wikipedia; Haría referencia a OPT 261, Interferencia y difracción en el Instituto de Óptica de la Universidad de Rochester, impartido por el profesor Vamivakas. Las ecuaciones en Óptica de Hecht deberían ser bastante similares. Las ecuaciones son para la amplitud compleja , para obtener la irradiancia (también conocida como intensidad o brillo), tomaría la magnitud al cuadrado del resultado.
