En el caso de la gripe, depende de la tensión de la misma. El tipo específico de enfermedad que se transmite de los humanos a los animales y viceversa se llama enfermedad zoonótica. De acuerdo con PetMD :
El potencial de zoonosis depende de una variedad de factores, que incluyen el clima, la geografía, la densidad de población, las condiciones sanitarias (o la falta de ellas), los hábitos de aseo y otros factores.
Algo como la gripe porcina es un buen ejemplo y el artículo vinculado proporciona muchos más.
En el caso de los hurones y la gripe, es posible transmitirles cepas generalmente humanas. Esta es la razón por la cual los hurones se usan comúnmente en los estudios porque su sistema inmunológico es similar al nuestro. De Wikipedia :
Debido a que comparten muchas características anatómicas y fisiológicas con los humanos, los hurones se usan ampliamente como sujetos experimentales en la investigación biomédica, en campos como virología, fisiología reproductiva, anatomía, endocrinología y neurociencia.
Para responder realmente a su pregunta: en general, no. Pero hay otros factores (como la cepa particular de una enfermedad) que pueden hacer que transmita la enfermedad a su animal. Si no está seguro, creo que debería intentar distanciarse del animal o, al menos, tratar de evitar contaminar su comida.