Como dice Skippy, los gatos definitivamente sueñan.
Para una referencia un poco menos inquietante, este artículo resume el estado actual de la investigación e incluye una breve explicación biológica (la versión corta es que el hipocampo funciona de la misma manera en casi todos los vertebrados, incluidos los mamíferos, lo que significa que si tiene un esqueleto interno, probablemente sueños): http://www.petsitusa.com/blog/?p=3363
(Como nota al margen, y personal, esto significa que las mascotas también pueden sufrir trastornos del sueño similares a los que enfrentamos los humanos ... Soy narcoléptico, y viene una gran cantidad de conocimiento sobre cómo funciona la narcolepsia de observaciones de perros narcolépticos).