Evaluación de errores del cálculo realizado utilizando datos no proyectados versus datos proyectados

Esta pregunta se basa en la línea de asunto "Cálculo de la dirección del flujo y delimitación de cuencas a partir de datos proyectados y no proyectados": Cálculo de la dirección del flujo y delineación de cuencas a partir de datos DEM proyectados y no proyectados

Sin embargo, esta es una pregunta completamente separada, ya que la pregunta antes mencionada ha establecido que existen problemas con el uso de algoritmos (por ejemplo, ArcGIS Flow Direction) que asumen la distancia euclidiana en los datos en un sistema de coordenadas geográficas esféricas / no proyectadas.

Sabemos que las proyecciones de mapas son como tomar una cáscara de naranja e intentar aplanarla en un escritorio: la proyección del mapa introducirá un error inherente. Pero, parece que los beneficios de proyectar compensan cualquier error introducido, particularmente cuando ejecuta cálculos que suponen una superficie plana cartesiana / proyectada. En este caso, el algoritmo que me interesa es el algoritmo ArcGIS Flow Direction que asume que sus datos se proyectan (y esta es la suposición adoptada por la mayoría de las aplicaciones basadas en mi investigación), ya que utiliza un enfoque euclidiano para calcular la distancia.

Mi pregunta es : ¿cómo podría cuantificarse el error que podría introducirse al calcular la dirección del flujo en un área de estudio dada usando datos DEM no proyectados (datos DEM en un sistema de coordenadas geográficas) versus datos proyectados (datos DEM en una proyección apropiada como un UTM o algo conforme)?

De acuerdo, puede derivar un ráster de dirección de flujo usando no proyectado y luego los mismos datos DEM proyectados. Pero entonces que? Dado que nuestro objetivo es modelar la superficie de la tierra con la mayor precisión posible (y no estamos abordando ningún error que pueda introducirse en el proceso de creación del DEM original, etc., eso es una constante en lo que a mí respecta) ... ¿asumimos que los datos de dirección de flujo derivados del DEM proyectado son mejores y luego comparamos los valores de celda individuales de los dos rásteres para identificar qué celdas tienen valores direccionales diferentes (en el contexto del modelo D-8 normal) )? Supongo que para hacer esto, tendría que tomar el ráster de dirección de flujo derivado de los datos no proyectados y luego aplicar la misma proyección utilizada con el ráster de dirección de flujo proyectado.

¿Qué tendría más sentido y con qué DEM no proyectado se debe comparar como punto de referencia de precisión?

Entrar en los detalles esenciales de las ecuaciones matemáticas podría, para aquellos que lo entienden, proporcionar pruebas a nivel del suelo y ser suficientes para algunos, pero eso, además de algo que podría transmitir el error a alguien que no tiene una información la comprensión profunda de las matemáticas, pero tal vez solo conozca suficiente geografía / SIG como para ser peligrosa, sería ideal (idealmente, ambos niveles serían buenos, lo que resonaría con los geeks hardcore de la geografía y el aficionado al SIG promedio). Para las personas de nivel superior, decir que la prueba está en las matemáticas posiblemente lo deja algo abierto para la discusión: estoy buscando algo más tangible (por ejemplo, como vincular una cifra en dólares a algún tipo de ineficiencia en el gobierno).

Cualquier idea o idea sobre cómo se podría cuantificar esto sería muy apreciada.

Tom

El análisis ya se realizó en respuesta a la pregunta anterior , pero quizás una ilustración ayude.

Hay dos componentes principales de error: el algoritmo "d8", que representa flujos en solo ocho direcciones cardinales, y el efecto de la proyección (o falta de ella). Centrémonos en lo último, porque esta parece ser la principal preocupación.

El error depende de las distorsiones en la proyección y del terreno en sí. Localmente, en una región pequeña, todas las distorsiones de proyección en la superficie de la tierra equivalen a un estiramiento en una dirección en comparación con una dirección perpendicular: es por eso que una Tissot Indicatrix (calculada correctamente) es una elipse perfecta, porque una elipse es solo un círculo estirado. El terreno puede tener cualquier aspecto (dirección del flujo). Para manejar esto, veamos un terreno que de hecho tiene puntos en todas las direcciones posibles con líneas de flujo simples: un cono .

Superpuesto en este mapa de contorno sombreado de color de elevación del cono hay una colección de líneas de corriente que muestran las direcciones por donde fluiría el agua. Puede confirmar que estas líneas de corriente son correctas comprobando que cruzan los contornos en ángulo recto.

Al elegir las unidades de medida apropiadas y un origen apropiado para el sistema de coordenadas (en el vértice del cono), la ecuación para la elevación en términos de coordenadas (x, y) es simplemente

z = -Sqrt (x ^ 2 + y ^ 2).

Las líneas de corriente siempre son paralelas al gradiente de z (en la dirección inversa), calculado al diferenciar esta fórmula con respecto a x e y :

-Grad (z) = (x, y) / Sqrt (x ^ 2 + y ^ 2).

El coeficiente 1 / Sqrt (x ^ 2 + y ^ 2) no cambia la dirección, por lo que podemos ignorarlo con el fin de comprender las líneas de corriente. Por lo tanto, en cualquier ubicación (x, y), la línea aerodinámica apunta en la dirección (x, y).

El efecto de un estiramiento horizontal en las coordenadas (por un factor de 2 en esta imagen) es estirar todos los contornos (sin cambiar los niveles de contorno: las proyecciones no afectan las alturas). Aunque (por supuesto) los contornos representan círculos verdaderos, ya no se ven como círculos verdaderos en el mapa. Sin embargo, cuando las líneas de corriente se calculan en estas coordenadas, deben cruzar los contornos en ángulo recto como antes.

El efecto del estiramiento es colocar la elevación en cualquier punto de coordenadas (x, y) en nuevas coordenadas (estiramiento x, y). Considere esto a la inversa: la elevación en las coordenadas (X, Y) = (estiramiento x, y) debe ser el valor de z calculado en (x, y) = (X / estiramiento, Y). Por lo tanto, la ecuación de la superficie aparente en esta proyección es

z = -Sqrt ((x / estiramiento) ^ 2 + y ^ 2).

Diferenciando, calculamos

-Grad (z) = (x / stretch ^ 2, y) / Sqrt ((x / stretch) ^ 2 + y ^ 2).

Nuevamente, el factor común no importa; por lo tanto, en cualquier ubicación (x, y), la línea de flujo calculada apunta en la dirección (x / stretch ^ 2, y) . Esta fue la fórmula utilizada para dibujar las líneas de corriente en la imagen anterior. Puede ver que cruzan correctamente los contornos en ángulo recto.

Esta tercera imagen reproyecta la imagen anterior. La superficie se muestra una vez más sin distorsión. Sin embargo, las líneas de corriente ya no parecen cruzar los contornos en ángulo recto. Este fue el caso incluso en la imagen anterior: debido a la distorsión, los ángulos solo parecían ser ángulos rectos. Los cruces fueron incorrectos todo el tiempo. Es por eso que no proyectar (o usar una proyección no conforme) es un error. La pregunta es qué tan grande podría ser un error. Algunos han afirmado que tiene poca consecuencia (al menos en latitudes bajas a moderadas).

Esta reproyección (para eliminar la distorsión en el mapa) mueve el punto en (x * estiramiento, y) de regreso a (x, y). La dirección de flujo previamente calculada en este punto se almacenó en una cuadrícula (como un ángulo o un código de dirección): no cambia. Por lo tanto, la dirección de flujo calculada en (x, y) es (x / stretch ^ 2, y).

Esto cuantifica el efecto de una reproyección en todas las direcciones de flujo posibles, como lo muestra la diferencia entre el primer y el último gráfico. Aquí está su superposición, sin el diagrama de contorno para distracción:

La reproyección afecta las direcciones de manera diferente dependiendo de cómo se orienta el flujo con respecto al eje mayor de la Tissot Indicatrix. Es una función cuadrática de la distorsión lineal relativa en la proyección. Como tal, exagera incluso pequeñas cantidades de distorsión. (El factor de dos ilustrado aquí es algo extremo pero realista: es la distorsión introducida al no proyectar , es decir, usar coordenadas geográficas como coordenadas del mapa, en latitudes de 60 grados).

Con un poco de trigonometría, uno puede usar estos resultados para calcular el error angular en la dirección del flujo en función de la dirección correcta. Aquí hay un gráfico de los errores asociados con el uso de un sistema de coordenadas geográficas (no proyectadas) en las latitudes 20, 30, 40, 50 y 60 grados. (Por supuesto, los errores más grandes están asociados con latitudes más altas).

La "verdadera dirección" está en grados al este del norte. Las diferencias angulares positivas ocurren cuando la dirección aparente (calculada sin proyectar lat, lon) es en sentido antihorario de la dirección verdadera.

Recuerde, ¡debe superponer los errores de d8 sobre estos!