Este es el resultado de mapear la ruta de la línea recta desde un punto en EE. UU. A Polonia usando la Herramienta de medición de distancia .
Además, los aviones de Asia a Estados Unidos viajarían casi sobre el Polo Norte.
¿Por qué el camino es tan curvo? Estoy de acuerdo en que esta es una representación plana de una esfera, por lo que espero algo de arco, pero no creo que la Tierra tenga tanta curvatura.
¿Que me estoy perdiendo aqui?
Respuestas:
Solo mira el camino en la esfera. Aquí está en Google Earth:
La ruta en su mapa está fuertemente curvada porque su mapa usa una proyección con mucha distorsión. (La distorsión crece sin límites hacia los polos y este camino se está acercando al polo norte).
La distorsión es necesaria para explicar la curvatura de esta geodésica en el mapa, pero la conexión entre ellas es sutil. Se puede decir más que es a la vez útil, informativo y elegante. Vea si está de acuerdo.
El mapa del OP utiliza una proyección de Mercator. Sus cualidades sobresalientes son que es
Cilíndrico : en particular, los meridianos son líneas verticales en el mapa,
Conforme : cualquier ángulo en el que dos caminos se crucen en la tierra se representará correctamente en el mapa, y
Loxodrómico : cualquier ruta de rumbo constante (en la tierra) se representa como un segmento de línea recta en el mapa.
Estas propiedades facilitan la lectura de información crítica directamente del mapa. En este contexto, estoy más interesado en los ángulos formados por cualquier camino con cada uno de los meridianos que cruza. (Estos son los rumbos medidos desde el norte). Por ejemplo, el camino representado en la pregunta comienza en Canadá, alrededor de 54 grados de latitud, formando un ángulo de aproximadamente 30 grados con su meridiano.
Lo que también necesitamos saber sobre un punto a 54 grados de latitud es que está más cerca del eje de la Tierra que los puntos a lo largo del ecuador. De hecho, es cos (54) * R desde el eje, donde R es el radio de la Tierra. (Esta es esencialmente la definición del coseno. Ayuda a tener cierta familiaridad con los cosenos, para que entienda cómo se comportan, pero realmente no necesita conocer ninguna otra trigonometría. Lo prometo. Bueno, una cosa más: el seno de un ángulo es el coseno de su complemento, por ejemplo, sin (32 grados) = cos (90-32) = cos (58).
Finalmente, tenga en cuenta que la tierra es rotacionalmente simétrica respecto a su eje. Esto nos permite invocar la belleza de Clairaut
Teorema (1743): en un camino en cualquier superficie lisa de revolución, el producto de la distancia al eje con el seno del rodamiento es constante si y solo si el camino es localmente geodésico.
Por lo tanto, dado que estamos comenzando en la latitud 54 grados en un ángulo de 30 grados, el producto en el teorema es igual a cos (54) * R * sin (30) = 0.294 * R.
¿Cómo ayuda esto? Bueno, considere lo que sucedería si el camino continuara aproximadamente en línea recta en el mapa . Tarde o temprano se elevaría a una latitud de 73 grados. Usando el teorema de Clairaut podemos resolver el rumbo en esta latitud:
cos(73) * R * sin(bearing) = 0.294 * R;
sin(bearing) = 0.294 / cos(73) = 1;
bearing = 90 degrees.
Esto dice que para cuando alcancemos una latitud de 73 grados, ¡debemos estar viajando hacia el este ! Es decir, el camino, para ser geodésico, debe curvarse con tanta fuerza que el rumbo inicial de 30 grados (este del norte) se convierte en 90 grados (este del norte).
(Por supuesto, encontré el valor de 73 grados resolviendo la ecuación cos (latitud) = cos (latitud) * sin (90) = cos (54) * sin (60). Para hacerlo usted mismo, tendría que saber que (a ) sin (90) = 1 (porque sin (90) = cos (90-90) = cos (0) = 1) y (b) la mayoría de las calculadoras y hojas de cálculo tienen una función para resolver cosenos; se llama ArcCos o coseno inverso. Espero que no veas este pequeño detalle como una ruptura de mi promesa anterior sobre no más trigonometría ...)
Después de hacer algunos cálculos como este, desarrollas una intuición de lo que dice el Teorema de Clairaut. Un camino en una superficie de revolución (como la tierra) puede ser geodésico (localmente más corto o "recto") solo cuando (a) su rumbo se vuelve más paralelo a los meridianos en puntos alejados del eje y (b) su rumbo se vuelve más perpendicular a los meridianos en puntos más cercanos al eje. Debido a que hay un límite en la forma perpendicular que se puede obtener, ¡90 grados! Este ajuste constante de rumbo (= ángulo al meridiano) y latitud (= distancia al eje) causa la curvatura aparente de la geodésica en la mayoría de los mapas, especialmente en aquellos que usan proyecciones cilíndricas, donde los meridianos y las líneas de latitud se representan como líneas verticales y horizontales, respectivamente.
Aquí hay algunas implicaciones fáciles del Teorema de Clairaut. Vea si puede probarlos todos:
El ecuador debe ser geodésico.
Todos los meridianos son geodésicos.
Ninguna línea de latitud, aparte del ecuador (y los polos, si desea incluirlos), puede ser geodésica. Ni siquiera una pequeña parte de una línea de latitud puede ser geodésica.
Los loxodromos (también conocidos como líneas de rumbo), que son líneas de rumbo constante, no pueden ser geodésicos a menos que sean meridianos o el ecuador. Ni siquiera una pequeña parte de tal loxódromo puede ser geodésica. En otras palabras, si navega o vuela en una dirección fija de la brújula, entonces, con algunas excepciones obvias, ¡su camino se curva constantemente !
El punto 4 dice que si vuela desde las Montañas Rocosas canadienses en un rumbo inicial de 30 grados al este del norte, debe aparecer, en relación con el norte, girando constantemente (hacia la derecha) para volar en línea recta; nunca irás al norte de 73 grados de latitud; y si continúa lo suficiente, llegará a Polonia y se dirigirá aproximadamente a 150 grados al este del norte cuando llegue allí. Por supuesto, los detalles, 73 grados y Polonia y 150 grados, se obtienen solo de la declaración cuantitativa del Teorema de Clairaut: por lo general, no puedes resolver ese tipo de cosas simplemente usando tu idea intuitiva de la geodésica.
Es de destacar que todos estos resultados se mantienen en un esferoide general (una superficie de revolución generada por una elipse), no solo en esferas perfectas. Con ligeras modificaciones son válidas para tori (superficies de bagels o neumáticos de camiones) y muchas otras superficies interesantes. (El autor de ciencia ficción Larry Niven escribió una novela en la que aparece un pequeño mundo artificial con forma de toro. El enlace incluye una imagen de la portada de la novela que representa parte de este mundo).
En esta proyección (Google Mercator), así es como se ve el gran círculo entre esos dos lugares.
Solo una adición rápida:
Además, los aviones de Asia a Estados Unidos viajarían casi sobre el Polo Norte.
En esa dirección, a menudo usarán la corriente en chorro. En la otra dirección, volarán sobre / cerca de los polos.
La proyección de Mercator se distorsiona en los polos http://en.wikipedia.org/wiki/Mercator_projection
más información Tissot's Indicatrix
Entonces la inclinación es más aguda en los últimos polos
Vi una explicación muy elegante de este fenómeno en el blog de Tom MacWright aquí , con fotos de naranjas. La versión de explicarlo a los 5 años: "En un globo, los caminos más cortos son planos y las líneas de navegación son curvas. Mercator hizo un mapa donde las líneas de navegación son rectas. Esto hizo que los caminos más cortos fueran curvos".
Se debe a la proyección de un plano 2D sobre una superficie de 2 esferas polorizadas, a medida que la línea pasa por los polos, se distorsiona en lo que respecta a los observadores del plano 2D porque la línea recta al destino parece ser curva Arca de un Gran Círculo, que es un término en matemáticas que se relaciona con el círculo más grande que se puede cortar de una esfera, siempre que el círculo pase por el centro de la esfera. Modifiqué ligeramente las imágenes proporcionadas en otras respuestas al garabatear una línea para ilustrar (bastante mal, me temo, soy nuevo en GIMP) La llamada distorsión polar. Creo que hay un concepto similar detrás de las fuerzas gravitacionales, pero no soy físico, así que no podría decirlo.
Cuanto más se acerca a los polos un punto, menos deformado parece estar cuando se renderiza sobre una superficie plana 2D, aunque todavía está en una pequeña cantidad. También depende del método de proyección utilizado, y hay algunos que se centran en hacer que la ruta más rápida entre dos puntos parezca plana y luego se redondea en la vista esférica completa.