La pendiente promedio suena como una cantidad natural, pero es algo bastante extraño. Por ejemplo, la pendiente promedio de una llanura horizontal plana es cero, pero cuando agrega un poco de ruido aleatorio promedio cero a un DEM de esa llanura, la pendiente promedio solo puede subir. Otros comportamientos extraños son la dependencia de la pendiente promedio de la resolución DEM, que he documentado aquí , y su dependencia de cómo se creó el DEM. Por ejemplo, algunos DEM creados a partir de mapas de contorno están en realidad ligeramente en terrazas, con pequeños saltos abruptos donde se encuentran las líneas de contorno, pero por lo demás son representaciones precisas de la superficie en general. Esos saltos abruptos, si se les da demasiado o muy poco peso en el proceso de promedio, pueden cambiar la pendiente promedio.
Destacar la ponderación es relevante porque, en efecto, una media armónica (y otros medios) están ponderando diferencialmente las pendientes. Para entender esto, considere la media armónica de solo dos números positivos x e y . Por definición,
Harmonic mean(x,y) = 1 / ((1/x + 1/y)/2) = x (y/(x+y)) + y (x/(x+y)) = a x + b y
donde los pesos son a = y / (x + y) y b = x / (x + y). (Merecen llamarse "pesos" porque son positivos y suman unidad. Para la media aritmética, los pesos son a = 1/2 yb = 1/2). Evidentemente, el peso unido a x , igual a y / (x + y), es grande cuando x es pequeño en comparación con y . Así armónico significa sobrepeso los valores más pequeños .
Puede ayudar a ampliar la pregunta. La media armónica es una de una familia de promedios parametrizados por un valor real p . Así como la media armónica se obtiene promediando los recíprocos de x e y (y luego tomando el recíproco de su promedio), en general podemos promediar las potencias pth de x e y (y luego tomar la potencia 1 / pth del resultado ) Los casos p = 1 y p = -1 son las medias aritméticas y armónicas, respectivamente. (Podemos definir una media para p = 0 tomando límites y así obtener la media geométrica como miembro de esta familia también). Como pdisminuye de 1, los valores más pequeños están cada vez más ponderados; y a medida que p aumenta de 1, los valores más grandes están cada vez más ponderados. Se deduce que la media solo puede aumentar a medida que aumenta p y debe disminuir a medida que disminuye p . (Esto es evidente en la segunda figura a continuación, en la que las tres líneas son planas o aumentan de izquierda a derecha).
Con una visión práctica del asunto, podríamos estudiar el comportamiento de varios medios de pendientes y agregar este conocimiento a nuestra caja de herramientas analíticas: cuando esperamos que las pendientes entren en una relación de tal manera que las pendientes más pequeñas deberían recibir más una influencia, podríamos elegir una media con p menor que 1; y, por el contrario, podríamos aumentar p por encima de 1 para enfatizar las pendientes más grandes. Para este fin, consideremos varias formas de perfiles de drenaje en la vecindad de un punto.
Para mostrar lo que podría pasar, he considerado tres terrenos locales cualitativamente diferentes : uno es donde todas las pendientes son iguales (lo que hace una buena referencia); otro es donde localmente estamos ubicados en el fondo de un tazón: a nuestro alrededor las pendientes son cero, pero luego aumentan gradualmente y eventualmente, alrededor del borde, se vuelven arbitrariamente grandes. Lo contrario de esta situación ocurre cuando las pendientes cercanas son moderadas pero luego se nivelan lejos de nosotros. Eso parecería cubrir una amplia gama de comportamientos realistas.
Aquí hay gráficos pseudo-3D de estos tres tipos de formas de drenaje:
Aquí he calculado la pendiente media de cada uno, con la misma codificación de color, en función de p , dejando que p oscile entre -1 (media armónica) y 2.
Por supuesto, la línea azul es horizontal: no importa qué valor tome p , la media de una pendiente constante no puede ser otra que esa constante (que se ha establecido en 1 como referencia). Las altas pendientes alrededor del borde más alejado del cuenco rojo influyen fuertemente en las pendientes medias a medida que p varía: observe cuán grandes se vuelven una vez que p excede 1. El borde horizontal en la tercera superficie (verde dorado) causa la media armónica (p = - 1) ser cero.
Cabe destacar que las posiciones relativas de las tres curvas cambian en p = 0 (la media geométrica): para p mayor que 0, el tazón rojo tiene pendientes promedio más grandes que el azul, mientras que para p negativo , el tazón rojo tiene un promedio más pequeño pendientes que el azul. Por lo tanto, su elección de p puede alterar incluso la clasificación relativa de las pendientes promedio.
El profundo efecto de la media armónica (p = -1) en la forma amarillo-verde debería darnos una pausa: muestra que cuando hay suficientes pendientes pequeñas en el drenaje, la media armónica puede ser tan pequeña que abruma cualquier influencia de Todas las demás pistas.
En el espíritu de un análisis exploratorio de datos, puede considerar variar p, tal vez dejar que oscile entre 0 y ligeramente mayor que 1 para evitar pesos extremos, y encontrar qué valor crea la mejor relación entre la pendiente media y la variable están modelando (como los umbrales de inicialización del canal). "Mejor" generalmente se entiende en el sentido de "más lineal" o "crear residuos [homoscedásticos] constantes" en un modelo de regresión.