Cuando la curva se compone de segmentos de línea, todos los puntos interiores de esos segmentos son puntos de inflexión, lo que no es interesante. En cambio, la curva debe considerarse aproximada por los vértices de esos segmentos. Al dividir una curva por partes dos veces diferenciable a través de esos segmentos, podemos calcular la curvatura. Un punto de inflexión, estrictamente hablando, es un lugar donde la curvatura es cero.
En el ejemplo, hay tramos largos donde la curvatura es casi cero. Esto sugiere que los puntos indicados deberían aproximarse a los extremos de tales tramos de regiones de baja curvatura.
Por lo tanto, un algoritmo eficaz dividirá los vértices, calculará la curvatura a lo largo de un conjunto denso de puntos intermedios, identificará rangos de curvatura cercana a cero (utilizando una estimación razonable de lo que significa estar "cerca") y marcará los puntos finales de esos rangos .
Aquí hay un Rcódigo de trabajo para ilustrar estas ideas. Comencemos con una cadena de línea expresada como una secuencia de coordenadas:
xy <- matrix(c(5,20, 3,18, 2,19, 1.5,16, 5.5,9, 4.5,8, 3.5,12, 2.5,11, 3.5,3,
2,3, 2,6, 0,6, 2.5,-4, 4,-5, 6.5,-2, 7.5,-2.5, 7.7,-3.5, 6.5,-8), ncol=2, byrow=TRUE)
Spline las coordenadas x e y por separado para lograr una parametrización de la curva. (Se llamará al parámetro time).
n <- dim(xy)[1]
fx <- splinefun(1:n, xy[,1], method="natural")
fy <- splinefun(1:n, xy[,2], method="natural")
Interpolar las splines para el trazado y el cálculo:
time <- seq(1,n,length.out=511)
uv <- sapply(time, function(t) c(fx(t), fy(t)))
Necesitamos una función para calcular la curvatura de una curva parametrizada. Necesita estimar la primera y segunda derivada de la spline. Con muchas splines (como splines cúbicas), este es un cálculo algebraico fácil. Rproporciona los primeros tres derivados automáticamente. (En otros entornos, uno podría querer calcular las derivadas numéricamente).
curvature <- function(t, fx, fy) {
# t is an argument to spline functions fx and fy.
xp <- fx(t,1); yp <- fy(t,1) # First derivatives
xpp <- fx(t,2); ypp <- fy(t,2) # Second derivatives
v <- sqrt(xp^2 + yp^2) # Speed
(xp*ypp - yp*xpp) / v^3 # (Signed) curvature
# (Left turns have positive curvature; right turns, negative.)
}
kappa <- abs(curvature(time, fx, fy)) # Absolute curvature of the data
Propongo estimar un umbral para la curvatura cero en términos de la extensión de la curva. Este al menos es un buen punto de partida; debe ajustarse de acuerdo con la tortuosidad de la curva (es decir, aumentada para curvas más largas). Esto luego se usará para colorear las parcelas de acuerdo con la curvatura.
curvature.zero <- 2*pi / max(range(xy[,1]), range(xy[,2])) # A small threshold
i.col <- 1 + floor(127 * curvature.zero/(curvature.zero + kappa))
palette(terrain.colors(max(i.col))) # Colors
Ahora que los vértices se han dividido y se ha calculado la curvatura, solo queda encontrar los puntos de inflexión . Para mostrarlos, podemos trazar los vértices, trazar la spline y marcar los puntos de inflexión en ella.
plot(xy, asp=1, xlab="x",ylab="y", type="n")
tmp <- sapply(2:length(kappa), function(i) lines(rbind(uv[,i-1],uv[,i]), lwd=2, col=i.col[i]))
points(t(sapply(time[diff(kappa < curvature.zero/2) != 0],
function(t) c(fx(t), fy(t)))), pch=19, col="Black")
points(xy)
Los puntos abiertos son los vértices originales xyy los puntos negros son los puntos de inflexión identificados automáticamente con este algoritmo. Debido a que la curvatura no puede calcularse de manera confiable en los puntos finales de la curva, esos puntos no están especialmente marcados.
