Es simple de verdad. Simplemente seleccione el polígono con el que desea recortar. Luego haga clic derecho en la capa vectorial en la tabla de contenido. Convierta características en gráficos. Generalmente elijo "Dibujar los gráficos convertidos y dibujar las características". Esto superpondrá un gráfico vectorial en la parte superior del polígono. Con la herramienta de selección de flecha, seleccione el gráfico.
Una vez seleccionado, haga clic con el botón derecho en el DEM (o cualquier ráster para ese asunto) y elija Datos> Exportar datos. En las opciones de extensión, elija "Gráficos seleccionados (recorte). Continúe con las otras opciones a su gusto, y luego guarde. Luego, debe tener un ráster recortado al polígono vectorial que desea.
Editar: Debo decir que esta no es la forma más conveniente de hacer múltiples clips, pero si necesita un ráster recortado a un vector y no tiene un analista espacial, entonces ciertamente funciona.