Uno de mis colegas está trabajando con datos que se distribuyen en dos zonas UTM. La mayoría de los datos están en una zona, con algunos valores atípicos en otra zona. Le gustaría saber cuál sería la distorsión del área de esos valores atípicos si estuvieran en la zona principal de UTM.
¿Existe una fórmula para calcular la distorsión de área sabiendo qué tan lejos estaban las características en la otra zona UTM?
Respuestas:
UTM utiliza una proyección transversal de Mercator con un factor de escala de 0.9996 en el meridiano central. En el Mercator, el factor de escala de distancia es la secante de la latitud (una fuente: http://en.wikipedia.org/wiki/Mercator_projection ), de donde el factor de escala de área es el cuadrado de este factor de escala (porque se aplica en todas las direcciones, siendo el Mercator conforme). Entendiendo la latitud como la distancia esférica al ecuador , y aproximando el elipsoide con una esfera, podemos aplicar esta fórmula a cualquier aspecto de la proyección de Mercator. Así:
El factor de escala es 0.9996 veces la secante de la distancia (angular) al meridiano central. El factor de escala de área es el cuadrado de esta cantidad.
Para encontrar esta distancia, considere el triángulo esférico formado viajando a lo largo de una geodésica desde un punto arbitrario en (lon, lat) = (lambda, phi) directamente hacia el meridiano central en longitud mu, a lo largo de ese meridiano hasta el polo más cercano, y luego de vuelta a lo largo del meridiano lambda hasta el punto original. El primer giro es un ángulo recto y el segundo es un ángulo de lambda-mu. La cantidad recorrida a lo largo de la última porción es de 90 grados phi. La Ley Esférica de los Senos aplicada a este triángulo establece
sin (lambda-mu) / sin (distancia) = sin (90 grados) / sin (90-phi)
con solución
distancia = ArcSin (sin (lambda-mu) * cos (phi)).
Esta distancia se da como un ángulo, lo cual es conveniente para calcular la secante.
Ejemplo
Considere la zona UTM 17, con meridiano central en -183 + 17 * 6 = -81 grados. Deje que la ubicación periférica sea de longitud -90 grados, latitud 50 grados. Luego
Paso 1: la distancia esférica desde (-90, 50) hasta el meridiano de -81 grados es igual a ArcSin (sin (9 grados) * cos (50 grados)) = 0.1007244 radianes.
Paso 2: La distorsión del área es igual a (0.9996 * seg (0.1007244 radianes)) ^ 2 = 1.009406.
(Los cálculos numéricos con el elipsoide GRS 80 dan el valor como 1.009435, mostrando que la respuesta que calculamos es 0.3% demasiado baja: ese es el mismo orden de magnitud que el aplanamiento del elipsoide, lo que indica que el error se debe a la aproximación esférica).
Aproximaciones
Para tener una idea de cómo cambia el área, podemos usar algunas identidades trigonométricas para simplificar la expresión general y expandirla como una serie de Taylor en lambda-mu (el desplazamiento entre la longitud del punto y la longitud del meridiano central UTM). Funciona a
Factor de escala de área ~ 0.9992 * (1 + cos (phi) ^ 2 * (lambda-mu) ^ 2).
Como con todas esas expansiones, el ángulo lambda-mu debe medirse en radianes. El error es menor que 0.9992 * cos (phi) ^ 4 * (lambda-mu) ^ 4, que está cerca del cuadrado de la diferencia entre la aproximación y 1, es decir, el cuadrado del valor después del punto decimal .
En el ejemplo con phi = 50 grados (con un coseno de 0.642788) y lambda-mu = -9 grados = -0.15708 radianes, la aproximación da 0.9992 * (1 + 0.642788 ^ 2 * (-0.15708) ^ 2) = 1.009387. Mirando más allá del punto decimal y cuadrando, deducimos (incluso sin saber el valor correcto) que su error no puede ser mayor que (0.009387) ^ 2 = menor que 0.0001 (y de hecho el error es solo un quinto de ese tamaño).
De este análisis es evidente que en latitudes altas (donde cos (phi) es pequeño), los errores de escala siempre serán pequeños; y en latitudes más bajas, los errores de escala de área se comportarán como el cuadrado de la diferencia en longitudes.
La herramienta GeoConvert de GeographicLib
http://geographiclib.sf.net/html/GeoConvert.1.html
permite una superposición generosa entre zonas UTM (específicamente, se permite la conversión a una zona vecina siempre que la flexión resultante esté en el rango [0km, 1000km]). GeoConvert también puede informar la convergencia y la escala de los meridianos y, como señala Whuber, la distorsión del área es el cuadrado de la escala.
Por ejemplo, su zona "principal" es 42 y se le da un punto dado
41N 755778 3503488
(Universidad de Kandahar) que está a unos 29 km al oeste de la zona 42. Para convertir esto a la zona 42, use
echo 41N 755778 3503488 | GeoConvert -u -z 42 ==> 42N 186710 3505069
Para determinar la convergencia y escala del meridiano en la zona 42, agregue la bandera -c
echo 41N 755778 3503488 | GeoConvert -u -z 42 -c ==> -1.73405 1.0008107
Entonces, la distorsión del área es 1.0008107 ^ 2 = 1.0016221.