¿Cuán preciso es aproximarse a la Tierra como una esfera?

¿Qué nivel de error me encuentro al aproximar la tierra como una esfera? Específicamente, cuando se trata de la ubicación de puntos y, por ejemplo, las grandes distancias circulares entre ellos.

¿Hay algún estudio sobre el error promedio y el peor de los casos en comparación con un elipsoide? Me pregunto cuánta precisión estaría sacrificando si voy con una esfera en aras de cálculos más fáciles.

Mi escenario particular implica mapear directamente las coordenadas WGS84 como si fueran coordenadas en una esfera perfecta (con el radio medio definido por el IUGG) sin ninguna transformación.

En resumen, la distancia puede estar en error hasta aproximadamente 22 km o 0.3%, dependiendo de los puntos en cuestión. Es decir:

• El error puede expresarse de varias maneras naturales y útiles , como (i) error (residual), igual a la diferencia entre las dos distancias calculadas (en kilómetros), y (ii) error relativo, igual a la diferencia dividida por el valor "correcto" (elipsoidal). Para producir números convenientes para trabajar, multiplico estas razones por 1000 para expresar el error relativo en partes por mil .

• Los errores dependen de los puntos finales. Debido a la simetría rotacional del elipsoide y la esfera y sus simetrías bilaterales (norte-sur y este-oeste), podemos colocar uno de los puntos finales en algún lugar a lo largo del meridiano principal (longitud 0) en el hemisferio norte (latitud entre 0 y 90 ) y el otro punto final en el hemisferio oriental (longitud entre 0 y 180).

Para explorar estas dependencias, he trazado los errores entre los puntos finales en (lat, lon) = (mu, 0) y (x, lambda) en función de la latitud x entre -90 y 90 grados. (Todos los puntos están nominalmente a una altura elipsoide de cero). En las figuras, las filas corresponden a valores de mu en {0, 22.5, 45, 67.5} grados y las columnas a valores de lambda en {0, 45, 90, 180} grados Esto nos da una buena visión del espectro de posibilidades. Como se esperaba, sus tamaños máximos son aproximadamente el aplanamiento (alrededor de 1/300) veces el eje mayor (alrededor de 6700 km), o alrededor de 22 km.

Errores

Errores relativos

Dibujo de contorno

Otra forma de visualizar los errores es arreglar un punto final y dejar que el otro varíe, contorneando los errores que surjan. Aquí, por ejemplo, hay un diagrama de contorno donde el primer punto final está a 45 grados de latitud norte, 0 grados de longitud. Como antes, los valores de error están en kilómetros y los errores positivos significan que el cálculo esférico es demasiado grande:

Puede ser más fácil de leer cuando se envuelve el mundo:

El punto rojo en el sur de Francia muestra la ubicación del primer punto final.

Para el registro, aquí está el código de Mathematica 8 utilizado para los cálculos:

WGS84[x_, y_] := GeoDistance @@ (GeoPosition[Append[#, 0], "WGS84"] & /@ {x, y});
sphere[x_, y_] := GeoDistance @@
   (GeoPosition[{GeodesyData["WGS84", {"ReducedLatitude", #[[1]]}], #[[2]], 0}, "WGS84"] & /@ {x, y});

Y uno de los comandos de trazado:

With[{mu = 45}, ContourPlot[(sphere[{mu, 0}, {x, y}] - WGS84[{mu, 0}, {x, y}]) / 1000, 
                   {y, 0, 180}, {x, -90, 90}, ContourLabels -> True]]

He explorado esta pregunta recientemente. Creo que la gente quiere saber

1. ¿Qué radio esférico debo usar?
2. ¿Cuál es el error resultante?

Una métrica razonable para la calidad de la aproximación es el error relativo absoluto máximo en la distancia del gran círculo

err = |s_sphere - s_ellipsoid| / s_ellipsoid

con el máximo evaluado sobre todos los pares de puntos posibles.

Si el aplanamiento f es pequeño, el radio esférico que minimiza err está muy cerca de (a + b) / 2 y el error resultante es aproximadamente

err = 3*f/2 = 0.5% (for WGS84)

(evaluado con 10 ^ 6 pares de puntos elegidos al azar). A veces se sugiere utilizar (2 * a + b) / 3 como radio esférico. Esto da como resultado un error ligeramente mayor, err = 5 * f / 3 = 0.56% (para WGS84).

Las geodésicas cuya longitud se subestima más por la aproximación esférica se encuentran cerca de un poste, por ejemplo, (89.1,0) a (89.1,180). Las geodésicas cuya longitud se sobreestima más por la aproximación esférica son meridionales cerca del ecuador, por ejemplo, (-0.1,0) a (0.1,0).

ADENDA : Aquí hay otra forma de abordar este problema.

Seleccione pares de puntos distribuidos uniformemente en el elipsoide. Mida la distancia elipsoidal sy la distancia en una esfera unitaria t . Para cualquier par de puntos, s / t da un radio esférico equivalente. Promedio esta cantidad sobre todos los pares de puntos y esto da un radio esférico equivalente medio. Hay una cuestión de exactamente cómo se debe hacer el promedio. Sin embargo, todas las opciones que probé

1. <s>/<t>
2. <s/t>
3. sqrt(<s^2>/<t^2>)
4. <s^2>/<s*t>
5. <s^2/t>/<s>

todo salió a unos pocos metros del radio medio recomendado por IUGG, R ₁ = (2 a + b ) / 3. Por lo tanto, este valor minimiza el error RMS en los cálculos de distancia esférica. (Sin embargo, da como resultado un error relativo máximo ligeramente mayor en comparación con ( a + b ) / 2; ver arriba). Dado que R ₁ es probable que se use para otros fines (cálculos de área y similares), existe una buena razón para Quédese con esta opción para los cálculos de distancia.

El resultado final :

• Para cualquier tipo de trabajo sistemático, donde pueda tolerar un error del 1% en los cálculos de distancia, use una esfera de radio R ₁ . El error relativo máximo es 0.56%. Use este valor de manera consistente cuando aproxima la tierra con una esfera.
• Si necesita precisión adicional, resuelva el problema geodésico elipsoidal.
• Para los cálculos al dorso de la envolvente, use R ₁ o 6400 km o 20000 / pi km o a . Estos dan como resultado un error relativo máximo de aproximadamente 1%.

OTRO ANEXO : Puede exprimir un poco más de precisión de la distancia del gran círculo utilizando μ = tan ⁻¹ ((1 - f ) ^3/2 tanφ) (latitud rectificadora de un pobre) como latitud en el cálculo del gran círculo. Esto reduce el error relativo máximo de 0.56% a 0.11% (usando R ₁ como el radio de la esfera). (No está claro si realmente vale la pena adoptar este enfoque en lugar de calcular la distancia geodésica elipsoidal directamente).