Mapa unidimensional del mundo?

Una pregunta un poco extraña, pero espero que esté bien preguntar aquí.

¿Alguien ha oído hablar de una proyección '1-dimensional' del mapa del mundo, es decir, mapear todos los puntos del globo en una sola línea?

Estaba pensando en hacer algo así: tratar de mantener a las ciudades que están "cerca" del mundo "cerca" de la línea.

Antes de hacer esto, me preguntaba cuál podría ser el estado del arte en esta área.

Una técnica general para mapear una colección de puntos (para los cuales se dan distancias) en un espacio euclidiano (como tres espacios, un plano o incluso una línea) con una distorsión mínima de las distancias se llama escalamiento multidimensional (MDS). Hay varios algoritmos. Las soluciones están disponibles gratuitamente en R y, a menudo, se suministran con paquetes de estadísticas comerciales.

Las 20 ciudades más grandes de los EE. UU. Están asignadas aquí con la configuración predeterminada de MDS de Stata 11. Las garrapatas denotan intervalos de 100 km.

Muchas gracias a @whuber por la respuesta inicial. pensé que debería subir los resultados de mí haciendo lo mismo ...

Por lo que vale, la forma particular de MDS que utilicé es algo llamado t-SNE (también conocido como 'Incrustación estocástica de Neihbor t-distribuido' ) para lograr las siguientes imágenes.

Aquí hay una imagen de todas las ciudades en orden: en el eje izquierdo se encuentra la ubicación 1-d real para esa ciudad, y las ciudades ordenadas de arriba a abajo, de izquierda a derecha en ese eje. Color = país

Aquí hay otra foto donde tomé la línea de ciudades pero la tracé en el mapa mundial. Supongo que este problema se reduce a algo bastante cercano al problema del vendedor ambulante, pero con la diferencia de que no es solo un pedido de ciudades sino un mapeo de ciudades a una línea 1-d ...

Si alguien quiere los datos de salida completos o la metodología utilizada aquí, envíeme un mensaje.

-

EDITAR:

En respuesta al comentario de @ whuber ..

Sí, tiene razón cuando enfatiza la distancia local (es decir, que las distancias locales de los vecinos inmediatos deben estar lo más cerca posible de las distancias reales en el mapa mundial), el problema MDS se reduce al problema del vendedor ambulante. Sin embargo, si enfatiza la optimización (o coincidencia) de distancias en un rango más amplio / moderado, puede obtener resultados diferentes. Por ejemplo, esto es lo que da el algoritmo t-sne cuando usa un valor más alto para 'perplejidad':

Lo que puede hacer es cubrir su espacio 2-d con una curva de relleno de espacio 1-d, como una curva de Peano o una curva de Hilbert. Luego mapeas tus puntos en el punto más cercano en la curva. Desenvuelva la curva y, en cierta medida, debería obtener una línea con las ciudades más cercanas en el espacio más cercano en la línea.

No es perfecto (no creo que nada pueda serlo), pero he visto que se usa como base para un algoritmo de vendedor ambulante; la idea es que si realiza su viaje de vendedor a lo largo de la línea, será una buena aproximación a la mejor solucion.

¡Las preguntas extrañas son a menudo las más interesantes!

Si está buscando un estado del arte en la forma en que se utilizan las dimensiones en la cartografía, puede comenzar con la semiología gráfica de Bertin . Según Bertin, un trozo de papel (o una superficie de ipad) tiene 3 dimensiones: las dos dimensiones planas, más el valor / textura. La semiología de gráficos proporciona reglas para asignar dimensiones de información a estas dimensiones de representación. Cuando las dos dimensiones planas son las dimensiones espaciales, el gráfico es un mapa, y la tercera dimensión se utiliza para representar la información.

Si desea hacer un mapa unidimensional, significa que elige restringir el uso de una de las dimensiones del papel para representar la información que desea (la proximidad entre ciudades). ¿Es realmente necesario imponer tal restricción y no hacer un mapa normal?

Si realmente se necesita, como se dijo en otras respuestas, ¡no se puede hacer! La relación de proximidad entre ciudades no puede representarse en una dimensión. Para eso, podrías:

• Utilice un "enfoque centrado en el usuario": si la audiencia del mapa se encuentra en algún lugar o hay un lugar específico en el que centrarse, este lugar puede tomarse como un origen, y todas las demás ciudades pueden clasificarse según su distancia a este origen.
• Ordene las ciudades no solo según su distancia relativa, sino según otros criterios de similitud (población, continente, número de automóviles por habitante, etc.). Luego, algunos tratamientos estadísticos, como el análisis de componentes principales, podrían dar una línea de dimensión única para clasificar las ciudades.

trying to keep cities that are 'close' on the globe 'close' on the line

Imagine tres ciudades a la misma distancia entre sí, por ejemplo, en los vértices de un triángulo equilátero. ¿Cómo representaría eso en una línea? Alguna información se perderá.

O descartas una dimensión por completo, por ejemplo, proyectando todas las ciudades en paralelo o en un meridiano (esto último sería interesante ya que no estamos acostumbrados a comparar la posición relativa norte / sur de las ciudades entre diferentes países), o seleccionas una específica medida dimensional, por ejemplo, "distancia de Nueva York".

La curva de Peano sugerida por Spacedman es muy interesante y sería un mapa original, pero las ciudades cercanas podrían terminar muy lejos en esa curva.

Nunca lo he usado, pero creo que un GeoHash podría funcionar para esto.

Los geohashes ofrecen propiedades como precisión arbitraria y la posibilidad de eliminar gradualmente caracteres del final del código para reducir su tamaño (y gradualmente perder precisión).

Como consecuencia de la degradación gradual de precisión, los lugares cercanos a menudo (pero no siempre) presentan prefijos similares. Por el contrario, cuanto más largo es un prefijo compartido, más cerca están los dos lugares.